алгебра - Решить в натуральных числах

Пусть $%d$% -- наибольший общий делитель $%m$% и $%n$%. Положим $%m=dx$%, $%n=dy$%, где $%x$% и $%y$% взаимно просты. После подстановки в уравнение и сокращения на $%d^2$% получается $%d(x^3+y^3)=2xy(d^2xy+1)$%. Правая часть делится на $%d$%, но её последний сомножитель взаимно прост с $%d$%, поэтому $%2xy$% делится на $%d$%. Левая часть делится на $%xy$%, но число $%x^3+y^3$% взаимно просто с $%xy$% ввиду взаимной простоты $%x$% и $%y$% (в противном случае $%x^3+y^3$% и $%xy$% имели бы общий простой делитель $%p$%, что сразу приводит к противоречию). Отсюда можно сделать вывод, что $%d$% делится на $%xy$%. В итоге $%d=kxy$%, где $%k=1$% или $%k=2$%. Заменяя в уравнении $%d$% на $%kxy$% и сокращая на $%xy$%, получаем $%k(x^3+y^3)=2(k^2x^3y^3+1)$%.

При $%k=1$% возникает равенство $%x^3+y^3=2(x^3y^3+1)$%, что равносильно $%(2x^3-1)(2y^3-1)+3=0$%, но этого не может быть при натуральных $%x$%, $%y$%. При $%k=2$% получается равенство $%x^3+y^3=4x^3y^3+1$%, что можно переписать в виде $%(4x^3-1)(4y^3-1)+3=0$%, и это также невозможно.

Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в натуральных числах.