|
Набор состоит из 33 натуральных чисел, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых 27 чисел этого набора меньше 2. Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 28. задан 31 Май '20 0:34 
math |
|
Если 1 встречается не менее 16 раз, то добираем до 28 числами 3, 4, 5. Допустим, что 1 встречается не более 12 раз. Тогда есть ещё >=18 чисел помимо 3, 4, 5, каждое из которых не меньше 2. Берём 18 таких чисел, числа 3, 4, 5, и ещё шесть чисел. Сумма не меньше 54, то есть среднее >=2. Итого единиц по крайней мере 13. Если мы можем набрать ровно 16 без участия 3, 4, 5, то всё сделано. Значит, если есть ещё число от 3 до 16, то сумму набираем. Если есть число от 15 до 28, то с участием единиц набирается 28. Если есть 2+2, то сумма также набирается. Значит, остаётся случай, когда хотя бы одно число не меньше 29, а тогда среднее выходит очень большим: вместе с 3, 4, 5 есть не более 15 единиц, ещё 8 чисел не меньше 2, и всего получается 27 чисел с очень большой суммой. Задача впечатления не произвела, так как условия слишком "нежёсткие", и любой почти перебор вариантов ведёт к цели. отвечен 31 Май '20 3:19 
falcao |