Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty}sin^2(n^3).$$

задан 5 Июл '13 10:41

изменен 5 Июл '13 19:05

Deleted's gravatar image


126

@Anatoliy: я заметил, что мой ответ был принят, а сейчас он значится как не принятый. Вас что-то не устраивает в приведённом решении?

(5 Июл '13 23:48) falcao

Хотел увидеть другие ответы. Но ...

(7 Июл '13 19:19) Anatoliy

@Anatoliy: Мне в принципе тоже было бы интересно увидеть какие-то другие способы решения. Дело в том, что я не так давно думал над какой-то похожей задачей, и меня интересовали другие подходы. Один из них мог быть основан на рассмотрении разности соседних членов последовательности.

(7 Июл '13 19:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Достаточно доказать, что $%\sin n^3$% не стремится к нулю при $%n\to\infty$%. Из этого будет следовать, что ряд расходится.

Рассуждая от противного, выберем $%\varepsilon=\arcsin\frac{\pi}{10}$%, и предположим, что при всех $%n\ge n_0$% имеет место неравенство $%|\sin n^3| < \varepsilon$%. Тогда при этих же значениях $%n$% число $%n^3$% должно иметь вид $%\alpha+\pi m$%, где оба параметра зависят от $%n$%, и при этом $%m$% целое, а $%|\alpha| < \pi/10$%. Из иррациональности числа $%\pi$% следует, что $%\alpha\ne0$%. Тогда существуют такие натуральные $%k$%, при которых $%k^3|\alpha|\ge\pi/10$% (по аксиоме Архимеда). Выберем наименьшее из таких $%k$%. Из условия следует, что $%k\ne1$%. Тогда $%k-1\in{\mathbb N}$%, и $%\beta=(k-1)^3|\alpha| < \pi/10$%, но при этом $%(k/(k-1))^3\beta=k^3|\alpha|\ge\pi/10$%. Очевидно, что множитель $%(k/(k-1))^3=(1+1/(k-1))^3$% не превосходит $%8$%. Отсюда следует, что число $%(kn)^3$% будет отстоять от целочисленного кратного $%\pi$% более чем на $%\pi/10$%, что противоречит предположению.

ссылка

отвечен 5 Июл '13 11:12

изменен 5 Июл '13 11:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×524
×192

задан
5 Июл '13 10:41

показан
839 раз

обновлен
7 Июл '13 19:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru