ряды - Исследовать на сходимость ряд

Достаточно доказать, что $%\sin n^3$% не стремится к нулю при $%n\to\infty$%. Из этого будет следовать, что ряд расходится.

Рассуждая от противного, выберем $%\varepsilon=\arcsin\frac{\pi}{10}$%, и предположим, что при всех $%n\ge n_0$% имеет место неравенство $%|\sin n^3| < \varepsilon$%. Тогда при этих же значениях $%n$% число $%n^3$% должно иметь вид $%\alpha+\pi m$%, где оба параметра зависят от $%n$%, и при этом $%m$% целое, а $%|\alpha| < \pi/10$%. Из иррациональности числа $%\pi$% следует, что $%\alpha\ne0$%. Тогда существуют такие натуральные $%k$%, при которых $%k^3|\alpha|\ge\pi/10$% (по аксиоме Архимеда). Выберем наименьшее из таких $%k$%. Из условия следует, что $%k\ne1$%. Тогда $%k-1\in{\mathbb N}$%, и $%\beta=(k-1)^3|\alpha| < \pi/10$%, но при этом $%(k/(k-1))^3\beta=k^3|\alpha|\ge\pi/10$%. Очевидно, что множитель $%(k/(k-1))^3=(1+1/(k-1))^3$% не превосходит $%8$%. Отсюда следует, что число $%(kn)^3$% будет отстоять от целочисленного кратного $%\pi$% более чем на $%\pi/10$%, что противоречит предположению.