интегралы - Интеграл и предел

Ввиду чётчности подынтегральной функции достаточно исследовать интеграл по полуоси. При любом $%\varepsilon \gt 0$% $$\int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n} \le \int\limits_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{dx}{1+nx^2} = \frac{1}{\sqrt n} \int\limits_{\varepsilon \sqrt n}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2} = \bar o \left(\frac{1}{\sqrt n} \right).$$ Значит, можно исследовать эквивалентный предел при произвольном $%\varepsilon \gt 0:$% $$\lim_{n \to \infty} \sqrt n\int\limits_{0}^{\varepsilon}\frac{\cos x \, dx}{(1+x^2)^n}.$$ При достаточно малом $%\varepsilon$% по теореме о среднем $$\int\limits_{0}^{\varepsilon}\frac{\cos x \, dx}{(1+x^2)^n}=M\int\limits_{0}^{\varepsilon}\frac{dx}{(1+x^2)^n}=M \int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n} + \bar o \left(\frac{1}{\sqrt n} \right),$$ где $%\cos \varepsilon \le M \le 1.$% Интеграл вычисляется с помощью рекуррентного соотношения по индукции: $$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{\pi}{2} \frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!},$$ а возникающий после этого предел $$L=\lim_{n \to \infty} \sqrt n\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n}$$ - с помощью формулы Валлиса (см., например, Фихтенгольц, т.2. п.317). Тогда для произвольного заданного $%\delta \gt 0$% выбираем достаточно малое $%\varepsilon \gt 0,$% чтобы М было достаточно близко к 1, после чего получаем, что при всех достаточно больших $%n$% $$\left| \sqrt n\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\cos x \, dx}{(1+x^2)^n}-L \right| \lt \delta ,$$ что доказывает существование предела. Окончательный результат получаем умножением $%L$% на 2. Конкретные выкладки не представляют труда и опущены за очевидностью. $$$$ Кроме того, полагая $$f(x)=cos \, x, \; h(x)=-ln(1+x^2),$$ можно привести данный интеграл к виду интеграла Лапласа: $$I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x \, dx}{(1+x^2)^n}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{nh(x)}dx.$$ Тогда асмптотика интеграла при $%n \to +\infty$% вычисляется по формуле $$I \sim f(c)e^{nh(c)}\sqrt {-\frac{2 \pi}{nh''(c)}},$$ где в данном случае $%c=0$%. Это сразу позволяет вычислить нужный предел (и, конечно, приводит к тому же результату). Смущает лишь то, что задача похожа на задание для студентов младших курсов. Если это действительно так, то метод Лапласа может быть ещё не известен.