комбинаторика - Найти число решений уравнения в целых неотрицательных числах

Этот вопрос относится к теме "сочетания с повторениями". Она подробно излагается в стандартных курсах комбинаторики. Эта задача решается при помощи того же приёма, как и для числа решений в натуральных числах (или даже проще). Заменим каждое из чисел $%x_i$% на такое же количество "палочек". Все знаки "+" при этом оставим. Получится строка, в которой имеется $%x_1+\cdots+x_k=n$% палочек и $%k-1$% "плюс". Всего в ней $%n+k-1$% символ. Чтобы задать такую строку, достаточно указать те $%n$% мест из $%n+k-1$%, на которых стоят "палочки". Это можно сделать $%C_{n+k-1}^n$% способами. В силу свойства симметричности сочетаний, это число можно записать также в виде $%C_{n+k-1}^{k-1}$%.