|
Натуральное число, являющееся полным квадратом, обладает следующим свойством: если все его цифры уменьшить на одно и то же натуральное число, то получится число, также являющееся полным квадратом. Найдите все четырехзначные числа, обладающие указанным свойством. задан 10 Июн '20 13:37 
cs_puma |
|
Число вида aaaa должно быть разностью квадратов, каждый из которых 4-значен, то есть речь о квадратах чисел от 32 до 99. При этом n^2-m^2=(n-m)(n+m) делится на 101, откуда n+m=101, так как значение 202 уже не может возникнуть Тогда n-m=11a, где a -- нечётная цифра. При a=1 имеем n=(101+11)/2=56, m=(101-11)=45, и проверяем, что этот случай подходит. При a=3 будет n=(101+33)/2=67, m=(101-33)/2=34. Здесь будет второе решение. При a=5, a=7 оказывается, что последняя цифра n^2 меньше последней цифры m^2, чего по условию быть не может. Случай a=9 сразу отбрасываем, так как он даёт n=100 отвечен 10 Июн '20 16:10 
falcao |
$$3136-1111=2025, 4489-3333=1156.$$
@EdwardTurJ, а как строго обосновать?