многочлены - Сумма и разность многочленов

Рассмотрим сначала простой случай, когда один из многочленов является константой $%c$%. Если она не целая, то многочлен нигде не принимает целочисленных значений. По условию, это же верно и для второго многочлена. Если бы он не был константой, то целочисленные значения у него бы имелись, так как при $%x\to\infty$% многочлен стремится к плюс бесконечности или минус бесконечности. Если же константа $%c$% целая, то целочисленные значения принимаются всюду как у одного, так и у другого многочлена. Здесь снова применяем то же соображение, с учётом непрерывности функций и наличия у них всех промежуточных значений.

Итак, можно считать, что ни $%P(x)$%, ни $%Q(x)$% не является константой. Как условие, так и заключение в задаче инвариантны относительно смены знака у одного из многочленов, а также прибавления к нему целочисленной константы. Поэтому сначала сделаем положительными оба старших коэффициента, а затем рассмотрим такое число $%x_0\in{\mathbb R}$%, для которого оба многочлена строго возрастают на луче $%[x_0,+\infty)$%. Ясно, что на этом луче оба многочлена принимают бесконечно много целочисленных значений, поэтому $%x_0$% можно выбрать так, чтобы $%P(x_0)$% и $%Q(x_0)$% оба были целыми. Более того, прибавляя к одному из многочленов целочисленную константу, можно добиться того, чтобы выполнялось равенство $%P(x_0)=Q(x_0)$%. При этом мы хотим доказать, что $%P$% и $%Q$% совпадают как многочлены.

Все точки $%x > x_0$%, в которых оба многочлена принимают целочисленные значения (мы знаем, что таких точек бесконечно много) являются изолированными, что сразу следует из свойства возрастания функций на рассматриваемом промежутке. Значит, мы можем упорядочить все такие точки по возрастанию: $%x_0 < x_1 < x_2 < \cdots$%: в этих и только в этих точках многочлены принимают целочисленные значения на промежутке $%[x_0;+\infty)$%. Если среди этих точек имеется бесконечно много таких, для которых значения $%P$% и $%Q$% совпадают, то разность $%P-Q$% имеет бесконечно много корней, и многочлен $%P-Q$% имеет только нулевые коэффициенты. Следовательно, можно допустить, что значения $%P$% и $%Q$% в какой-то из точек $%x_n$% не равны, и такое $%n$% можно выбрать наименьшим. Без ограничения общности, $%P(x_n) > Q(x_n)=c\in{\mathbb Z}$%. Ясно, что $%n > 0$%, и в силу выбора числа $%n$% имеет место равенство $%P(x_{n-1})=Q(x_{n-1}) < c$% -- последнее ввиду возрастания функций. Тогда оказывается, что $%P(x)$% принимает промежуточное значение $%c$% на интервале $%(x_{n-1},x_n)$%, что невозможно, так как между $%x_{n-1}$% и $%x_n$% не должно быть точек, где $%P$% принимает целочисленное значение.