Два многочлена $%P(x)$% и $%Q(x)$% с действительными коэффициентами принимают целочисленные значения в одних и тех же точках. Доказать, что $%P(x)- Q(x)$% либо $%P(x)+ Q(x)$% являются константами.

задан 9 Июл '13 11:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть утверждение неверно. Не ограничивая общности (т.е. изменяя, если нужно, знаки у многочленов $%P$% и $%Q$% и меняя их местами), можно считать, что найдётся такая точка $%x=a$%, что $%P(a)$% - целое, a для всех $%x>a$%$$P'(x)>Q'(x)>0.$$ Тогда найдётся такая точка $%b>a,$% в которой $%P(b)=P(a)+1.$% По условию, $%Q(a)$% и $%Q(b)$% - тоже целые, но в силу предположения $$0<\Delta Q_{ab}<\Delta P_{ab}=1$$ - противоречие.

ссылка

отвечен 10 Авг '13 12:37

Хорошее решение. Все-таки нужно кое-что уточнить. А если многочлен $%P(x)$% не принимает целых значений? И почему неравенство $%P^{'}(x)>Q^{'}(x)>0?$%

(10 Авг '13 13:11) Anatoliy

Пожалуйста, давайте всё уточним.

  1. Если многочлен P(x) не принимает целых значений, то он с необходимостью - константа, т.к. в противном случае он растёт на бесконечности и принимает все промежуточные значения, в том числе и целые (если нужно, напишу подробнее). То же верно и относительно другого многочлена, и в этом случае утверждение задачи доказано.

  2. По предположению, P-Q - не константа, следовательно, P'-Q' - не тождественный нуль. Значит, P'-Q'>0 либо - <0 (по крайней мере, для достаточно больших х). Во втором случае - меняем их местами. Почему P' и Q'>0 ясно?

(10 Авг '13 13:34) splen

Спасибо за уточнение. Я думаю, что и другим участникам форума это будет полезно. Я все-таки выдержал паузу, и получил еще одно решение. Считаю, что оно оптимальное, и заслуживает того, чтобы быть засчитанным как правильное.

(10 Авг '13 16:49) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим сначала простой случай, когда один из многочленов является константой $%c$%. Если она не целая, то многочлен нигде не принимает целочисленных значений. По условию, это же верно и для второго многочлена. Если бы он не был константой, то целочисленные значения у него бы имелись, так как при $%x\to\infty$% многочлен стремится к плюс бесконечности или минус бесконечности. Если же константа $%c$% целая, то целочисленные значения принимаются всюду как у одного, так и у другого многочлена. Здесь снова применяем то же соображение, с учётом непрерывности функций и наличия у них всех промежуточных значений.

Итак, можно считать, что ни $%P(x)$%, ни $%Q(x)$% не является константой. Как условие, так и заключение в задаче инвариантны относительно смены знака у одного из многочленов, а также прибавления к нему целочисленной константы. Поэтому сначала сделаем положительными оба старших коэффициента, а затем рассмотрим такое число $%x_0\in{\mathbb R}$%, для которого оба многочлена строго возрастают на луче $%[x_0,+\infty)$%. Ясно, что на этом луче оба многочлена принимают бесконечно много целочисленных значений, поэтому $%x_0$% можно выбрать так, чтобы $%P(x_0)$% и $%Q(x_0)$% оба были целыми. Более того, прибавляя к одному из многочленов целочисленную константу, можно добиться того, чтобы выполнялось равенство $%P(x_0)=Q(x_0)$%. При этом мы хотим доказать, что $%P$% и $%Q$% совпадают как многочлены.

Все точки $%x > x_0$%, в которых оба многочлена принимают целочисленные значения (мы знаем, что таких точек бесконечно много) являются изолированными, что сразу следует из свойства возрастания функций на рассматриваемом промежутке. Значит, мы можем упорядочить все такие точки по возрастанию: $%x_0 < x_1 < x_2 < \cdots$%: в этих и только в этих точках многочлены принимают целочисленные значения на промежутке $%[x_0;+\infty)$%. Если среди этих точек имеется бесконечно много таких, для которых значения $%P$% и $%Q$% совпадают, то разность $%P-Q$% имеет бесконечно много корней, и многочлен $%P-Q$% имеет только нулевые коэффициенты. Следовательно, можно допустить, что значения $%P$% и $%Q$% в какой-то из точек $%x_n$% не равны, и такое $%n$% можно выбрать наименьшим. Без ограничения общности, $%P(x_n) > Q(x_n)=c\in{\mathbb Z}$%. Ясно, что $%n > 0$%, и в силу выбора числа $%n$% имеет место равенство $%P(x_{n-1})=Q(x_{n-1}) < c$% -- последнее ввиду возрастания функций. Тогда оказывается, что $%P(x)$% принимает промежуточное значение $%c$% на интервале $%(x_{n-1},x_n)$%, что невозможно, так как между $%x_{n-1}$% и $%x_n$% не должно быть точек, где $%P$% принимает целочисленное значение.

ссылка

отвечен 9 Июл '13 12:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×280

задан
9 Июл '13 11:12

показан
1081 раз

обновлен
10 Авг '13 16:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru