|
Имеет ли уравнение $%x^\sqrt{2}=y$% решения на множестве натуральных чисел ( $%x,y\ge2$% )? задан 9 Июл '13 11:26 
Anatoliy |
|
Имеет место теорема Гельфонда-Шнейдера: Пусть $%a$% алгебраическое число отличное от 0 и 1, а $%b$% алгебраическое иррациональное число. Тогда $%a^b$% трансцендентно. Ее доказательство можно найти здесь. Из нее сразу следует, что решений уравнение не имеет. отвечен 29 Авг '13 16:02 
dmg3 А нельзя-ли в этом конкретном случае доказательство попроще? Если в ближайшее время не будет иных доказательств, то засчитаю Ваше.
(29 Авг '13 18:48)
Anatoliy
@Anatoliy: я над этой задачей думал очень длительное время, пытаясь найти относительно простой способ решения (для ослабленного случая), отличающийся приведенных в литературе. Однако никаких существенных упрощений найти не удалось. Рассуждение из статьи Р.О.Кузьмина (ещё более ранней, чем результаты А.О.Гельфонда), хотя и является одним из наиболее простых среди известных мне, но оно всё же достаточно сложное по своей структуре. Если Вам известно какое-то "олимпиадное" доказательство (для сформулированного Вами случая), то было бы очень интересно ознакомиться с таким рассуждением.
(29 Авг '13 20:40)
falcao
В принципе доказательство из статьи элементарное, просто содержит громоздкие вычисления, и для случая $%\sqrt{2}$% выглядит проще, но не похоже на то, что можно придумать доказательство основанное на одной идее
(29 Авг '13 20:52)
dmg3
@aapetrov3: я смотрел разную литеатуру в связи с этой задачей -- включая статью Р.О.Кузьмина, книгу А.О.Гельфонда и Ю.В.Линника, а также современную статью А.И.Галочкина, на которую Вы здесь дали ссылку. Меня в первую очередь интересовал вопрос, нельзя ли получить принципиально более простое доказательство того, что $%a^{\sqrt{2}}$% нецелое. Но никаких новых соображений, к сожалению, мне придумать не удалось.
(29 Авг '13 21:25)
falcao
|
Удалил ответ, т.к. нашел ошибку