|
Вот задачки, которые я даю студентам для отработки понятия "множество". Думаю, что они несложные. Впрочем, у некоторых студентов они вызывают затруднения. А у Вас?
Добавление. Возникла дискуссия с Андреем Юрьевичем, считать ли, что пустое множество совпадает с {$%\emptyset$%}. Думаю, что вырисовываются два подхода. А.Ю. Аксиоматический подход. Пустое множество не может служить элементом никаких других множеств. В частности, если |A| = n, то булеан $%2^A$% содержит $%2^n-1$% элементов (т.к. пустого множества среди его элементов нет) Опять для А.Ю. А сколько элементов в списке ($%\{1,2\},\emptyset$%)? Например, это заказ из набора {1,2,3}: первый человек выбрал два объекта, а второй - ничего. А.Ю. Ответил, что в списке 1 элемент. Но это же ужасно неудобно, если список будет менять длину! Да и как мы узнаем, где именно этот элемент стоит, т.е. кто сделал заказ, а кто - отказался? Если список - это функция от множества (здесь - людей), то на втором месте должно что-то стоять, хотя бы NA (отсутствующее значение). И пустое множество может играть его роль. задан 20 Фев '12 0:45 
DocentI |
|
Понятие множества требует аккуратного к нему отношения. Например, что понимать под пустым множеством?. Это может быть подмножество некоторого универсального множества, не содержащего элементов. Поэтому стоит ли считать равными пустые подмножества разных универсальных множеств? Вариант ответа: 1. A&B=∅.(& - пересечение) 2. 1) один; 2) два; 3) четыре. 3. первое и третье; второе и четвертое. отвечен 20 Фев '12 16:43 
Anatoliy Да, согласна со всеми ответами. Насколько я знаю, считается, что пустое множество существует только одно и оно входит во все другие множества.
(20 Фев '12 17:45)
DocentI
К сожалению, очень многие студенты на первый вопрос отвечают следующим образом: пишут пересечение A и B и знак пересечения зачеркивают (не могу это отобразить, такого знака в формулах нет!) Приходится "наводить" их на правильный ответ (а гуманитариям просто предъявлять его!)
(20 Фев '12 17:48)
DocentI
Для А.Ю.Внизу коммент не добавляется, пишу сюда. Насчет аксиоматики не знаю, я прикладник ;-) Но формула $%2^n$% для размера булеана мне нравится и я не хочу делать из нее исключений.
(23 Фев '12 1:44)
DocentI
Опять для А.Ю. А сколько элементов в списке ($%\{1,2\},\emptyset$%)? Например, это заказ из набора {1,2,3}: первый человек выбрал два объекта, а второй - ничего.
(23 Фев '12 1:48)
DocentI
Ну, я уже сказал, все, что думаю по этому поводу. Добавлять пустое множество в список нет смысла - оно там и так подразумевается. Что касается множества заказов - оно состоит из одного элемента {1,2), а множество покупателей - из двух.
(24 Фев '12 3:21)
Андрей Юрьевич
|
|
(2)- 0, 0, 4 первые два - разные записи пустого множества; (3)- все 4 совпадают, это все разные записи пустого множества отвечен 21 Фев '12 18:12 
Андрей Юрьевич Вы серьезно? Вот уж от ВАС этого не ожидала! Впрочем, надо обговорить обозначения. Фигурные скобки задают список элементов множества (эти элементы помещены внутри скобок)
(21 Фев '12 21:56)
DocentI
Совершенно серьезно. Множество определяется составом своих элементов. Из каких элементов, по-вашему, состоят первые два множества в 2. и все множества в 3 ? При этом я, все-таки, исхожу из того, что пустое множество уникально и не может иметь других свойств кроме своего имени (хотя слово "свойства" Вам и не нравится). Отказ от этого предположения приведет к очень серьезным и, возможно, неожиданным последствиям в самых разных областях математики, т.к. придется всегда выяснять того или не того типа пустое множество получается. Например, какого типа пустое множество будет в п.1 Вашего вопроса?
(22 Фев '12 13:07)
Андрей Юрьевич
Первое множество в (2) есть множество, элементами которого являются множества (конкретно - одно, пустое). Оно совпадает с $%2^{\emptyset}$%, т.е. является множеством подмножеств $%\emptyset$%, которое состоит ровно из одного элемента. Или Вам не нравится формула, что в множестве с n элементами $%2^n$% подмножеств? А ведь $%2^0=1$%.
(22 Фев '12 13:40)
DocentI
Вообще, можно либо постулировать совпадение пустого множества со своим булеаном, либо нет. И в том, и в другом случае возникают некоторые логические сложности. Если пустое множество не совпадает со своим булеаном, то мы получаем возможность создавать "что-то из ничего", если совпадает - для него нарушается правило вычисления мощности булеана (что, по-моему, менее страшно, т.к. всегда можно оговаривать, что мы рассматриваем непустые множества).
(22 Фев '12 14:03)
Андрей Юрьевич
Кому - что. Если беспокоиться о "самозарождении" (а что тут страшного?), то нужен Ваш подход. Но в простых прикладных задачах (в комбинаторике, например) все время оговаривать крайний случай - неудобно и громоздко. Во многих рекуррентных формулах комбинаторики мы полагаем, что при отсутсивии объектов выбор из них можно сделать одним способом: ничего не выбирать. Так что "из ничего получается что-то" - а именно, наш выбор (вынужденный, правда).
(22 Фев '12 15:09)
DocentI
И тем не менее, вопрос остается. Если считать, что булеан пустого множества Bul(ф), а также все Bul(Bul(..(ф)..)) - это реальные объекты, отличные от пустого множества, то что это такое? В каких областях математики и как они используются? Это простейшие объекты, следовательно, они должны обладать фундаментальностью не меньшей, чем точка или натуральное число.
(22 Фев '12 21:28)
Андрей Юрьевич
Если Вам не нравится {$%\emptyset$%} в каком-нибудь возвышенно-философском смысле не-наивной теории множеств, тут я поспорить не могу. Это далеко от моей "повседневной математической практики".
(23 Фев '12 0:36)
DocentI
Под использованием я понимаю участие объекта в аксиоматике какого-либо раздела математики (это же простейшие фундаментальные объекты!). Или хотя бы фигурирование в каких-либо базовых теоремах. В приведенном Вами множестве - один элемент A, т.к. пустое множество и так всегда подразумевается как элемент. Во всяком случае, множества {A} и {ф,A} совпадают (через ф я обозначил пустое множество).
(23 Фев '12 1:07)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 8
показать еще 3
|
∅-что обозначает этот символ? Пустое множество?
Да, конечно. Я записывала его в формуле как emptyset