Вот задачки, которые я даю студентам для отработки понятия "множество". Думаю, что они несложные. Впрочем, у некоторых студентов они вызывают затруднения. А у Вас?

  1. Запишите формально (с помощью символов теории множеств) высказывание "Множества A и B не пересекаются".
  2. Сколько элементов в множествах {$%\emptyset$%}; {{$%\emptyset$%}, $%\emptyset$%}; {1, 2, 3, 1, 5}?
  3. Какие из множеств $%\emptyset$%, {$%\emptyset$%}, { }, $%2^\emptyset$% совпадают?

Добавление. Возникла дискуссия с Андреем Юрьевичем, считать ли, что пустое множество совпадает с {$%\emptyset$%}. Думаю, что вырисовываются два подхода.

А.Ю. Аксиоматический подход. Пустое множество не может служить элементом никаких других множеств. В частности, если |A| = n, то булеан $%2^A$% содержит $%2^n-1$% элементов (т.к. пустого множества среди его элементов нет)
И.С. "Наивный" подход. Пустое множество, как "хорошо различимый предмет нашего мышления" может служить элементом других множеств. В частности, |$%2^A$%| = $%2^n$%. Аналогично, из пустого множества элементов можно получить ровно 1 перестановку, так что 0! = 1.
Последний подход позволяе, например. в комбинаторике не рассматривать кучу крайних случаев, т.к. формально они хорошо вписываются в формулы.
Какой из подходов выбрать - вопрос личного вкуса, т.е. методических/прикладных/эстетических предпочтений.

Опять для А.Ю. А сколько элементов в списке ($%\{1,2\},\emptyset$%)? Например, это заказ из набора {1,2,3}: первый человек выбрал два объекта, а второй - ничего.

А.Ю. Ответил, что в списке 1 элемент. Но это же ужасно неудобно, если список будет менять длину! Да и как мы узнаем, где именно этот элемент стоит, т.е. кто сделал заказ, а кто - отказался? Если список - это функция от множества (здесь - людей), то на втором месте должно что-то стоять, хотя бы NA (отсутствующее значение). И пустое множество может играть его роль.
Это все равно, что сказать - зачем в числе 302 ноль, ведь и так ясно, что десятков в нем нет.
В общем, здесь я останусь при своем: в приложениях, где мы работаем с конкретным универсумом, не возникает парадоксов, так что и нет необходимости отказываться от удобного $%\emptyset$% как элемента.

задан 20 Фев '12 0:45

изменен 24 Фев '12 11:28

∅-что обозначает этот символ? Пустое множество?

(20 Фев '12 15:13) Anatoliy

Да, конечно. Я записывала его в формуле как emptyset

(20 Фев '12 15:15) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Понятие множества требует аккуратного к нему отношения. Например, что понимать под пустым множеством?. Это может быть подмножество некоторого универсального множества, не содержащего элементов. Поэтому стоит ли считать равными пустые подмножества разных универсальных множеств? Вариант ответа: 1. A&B=∅.(& - пересечение) 2. 1) один; 2) два; 3) четыре. 3. первое и третье; второе и четвертое.

ссылка

отвечен 20 Фев '12 16:43

изменен 20 Фев '12 16:53

Да, согласна со всеми ответами. Насколько я знаю, считается, что пустое множество существует только одно и оно входит во все другие множества.
- Что ты делал на выходные?
- Ловил карасей.
- И много поймал?
- Ни одного.
- Так откуда же ты знаешь, что ловил именно карасей?

(20 Фев '12 17:45) DocentI

К сожалению, очень многие студенты на первый вопрос отвечают следующим образом: пишут пересечение A и B и знак пересечения зачеркивают (не могу это отобразить, такого знака в формулах нет!) Приходится "наводить" их на правильный ответ (а гуманитариям просто предъявлять его!)

(20 Фев '12 17:48) DocentI

Для А.Ю.Внизу коммент не добавляется, пишу сюда. Насчет аксиоматики не знаю, я прикладник ;-) Но формула $%2^n$% для размера булеана мне нравится и я не хочу делать из нее исключений.
Мне удобно считать, что "отсутствующие" предметы я могу переставить 1 способом (ничего не выбирать), тем более, что это согласуется с рекуррентной формулой для числа перестановок. Т.е. пустое множество предметов порождает ненулевое число перестановок.
Может, это нехорошо в аксиоматической теории множеств - ну и пусть. Мне достаточно "наивной".
В общем я так хочу, и все - с этим Вы поспорить не можете! ;-)

(23 Фев '12 1:44) DocentI

Опять для А.Ю. А сколько элементов в списке ($%\{1,2\},\emptyset$%)? Например, это заказ из набора {1,2,3}: первый человек выбрал два объекта, а второй - ничего.

(23 Фев '12 1:48) DocentI

Ну, я уже сказал, все, что думаю по этому поводу. Добавлять пустое множество в список нет смысла - оно там и так подразумевается. Что касается множества заказов - оно состоит из одного элемента {1,2), а множество покупателей - из двух.

(24 Фев '12 3:21) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
0

(2)- 0, 0, 4 первые два - разные записи пустого множества; (3)- все 4 совпадают, это все разные записи пустого множества

ссылка

отвечен 21 Фев '12 18:12

Вы серьезно? Вот уж от ВАС этого не ожидала! Впрочем, надо обговорить обозначения. Фигурные скобки задают список элементов множества (эти элементы помещены внутри скобок)

(21 Фев '12 21:56) DocentI

Совершенно серьезно. Множество определяется составом своих элементов. Из каких элементов, по-вашему, состоят первые два множества в 2. и все множества в 3 ? При этом я, все-таки, исхожу из того, что пустое множество уникально и не может иметь других свойств кроме своего имени (хотя слово "свойства" Вам и не нравится). Отказ от этого предположения приведет к очень серьезным и, возможно, неожиданным последствиям в самых разных областях математики, т.к. придется всегда выяснять того или не того типа пустое множество получается. Например, какого типа пустое множество будет в п.1 Вашего вопроса?

(22 Фев '12 13:07) Андрей Юрьевич

Первое множество в (2) есть множество, элементами которого являются множества (конкретно - одно, пустое). Оно совпадает с $%2^{\emptyset}$%, т.е. является множеством подмножеств $%\emptyset$%, которое состоит ровно из одного элемента. Или Вам не нравится формула, что в множестве с n элементами $%2^n$% подмножеств? А ведь $%2^0=1$%.
Конечно, пустое множество существует только одно, я где здесь об этом писала (с иллюстрацией - анекдотом про карасей). Не вижу, чему это противоречит в моем примере?

(22 Фев '12 13:40) DocentI

Вообще, можно либо постулировать совпадение пустого множества со своим булеаном, либо нет. И в том, и в другом случае возникают некоторые логические сложности. Если пустое множество не совпадает со своим булеаном, то мы получаем возможность создавать "что-то из ничего", если совпадает - для него нарушается правило вычисления мощности булеана (что, по-моему, менее страшно, т.к. всегда можно оговаривать, что мы рассматриваем непустые множества).

(22 Фев '12 14:03) Андрей Юрьевич

Кому - что. Если беспокоиться о "самозарождении" (а что тут страшного?), то нужен Ваш подход. Но в простых прикладных задачах (в комбинаторике, например) все время оговаривать крайний случай - неудобно и громоздко. Во многих рекуррентных формулах комбинаторики мы полагаем, что при отсутсивии объектов выбор из них можно сделать одним способом: ничего не выбирать. Так что "из ничего получается что-то" - а именно, наш выбор (вынужденный, правда).

(22 Фев '12 15:09) DocentI

И тем не менее, вопрос остается. Если считать, что булеан пустого множества Bul(ф), а также все Bul(Bul(..(ф)..)) - это реальные объекты, отличные от пустого множества, то что это такое? В каких областях математики и как они используются? Это простейшие объекты, следовательно, они должны обладать фундаментальностью не меньшей, чем точка или натуральное число.

(22 Фев '12 21:28) Андрей Юрьевич

Если Вам не нравится {$%\emptyset$%} в каком-нибудь возвышенно-философском смысле не-наивной теории множеств, тут я поспорить не могу. Это далеко от моей "повседневной математической практики".
Не знаю, как Вы понимаете слово "используются". А в множестве {$%\emptyset, A$%} сколько элементов?
Вы написали: "можно либо постулировать совпадение пустого множества со своим булеаном, либо нет". Я - не буду постулировать. Мне так удобнее и больше нравится.

(23 Фев '12 0:36) DocentI

Под использованием я понимаю участие объекта в аксиоматике какого-либо раздела математики (это же простейшие фундаментальные объекты!). Или хотя бы фигурирование в каких-либо базовых теоремах. В приведенном Вами множестве - один элемент A, т.к. пустое множество и так всегда подразумевается как элемент. Во всяком случае, множества {A} и {ф,A} совпадают (через ф я обозначил пустое множество).

(23 Фев '12 1:07) Андрей Юрьевич
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×333
×13

задан
20 Фев '12 0:45

показан
1980 раз

обновлен
24 Фев '12 11:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru