$%{\text{Существуют ли простые числа }}p{\text{ и }}q{\text{ такие}}{\text{, что }}{p^4} + 1 = a \cdot {q^4}?$%

задан 17 Июн '20 1:16

1

Да, существуют. Это я видел ещё в ходе решения прошлой задачи. Простое число p=20051 (номер 2268) делится на 17^4.

А при p=20024989 имеет место делимость p^4+1 даже на 17^5.

(17 Июн '20 2:43) falcao

Простое число ... делится ... Это интересно!

(17 Июн '20 5:09) FEBUS

@FEBUS: это я копировал информацию из Maple и ошибся. Конечно, не оно делится, а p^4+1.

(17 Июн '20 6:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Достаточно выбрать простое $%q\equiv 1\pmod8$% (OEIS A007519), что гарантирует разрешимость сравнения $%x^4\equiv -1\pmod{q^4}$%, а затем в соответствующих классах вычетов найти простое $%p$%, наличие которого (и даже бесконечное их количество) гарантирует нам теорема Дирихле.

Вот несколько значений $%q$% с минимальными значениями $%p$%: $$(q,p) \in \{ (17, 20051), (41, 15257603), (73, 43648357), (89, 361214369), (97, 685809367), (113, 1838870113), (137, 1072832899), (193, 9343617509) \}$$

ссылка

отвечен 28 Июн '22 19:01

изменен 28 Июн '22 19:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×302
×228
×183

задан
17 Июн '20 1:16

показан
457 раз

обновлен
28 Июн '22 19:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru