|
$%{\text{Существуют ли простые числа }}p{\text{ и }}q{\text{ такие}}{\text{, что }}{p^4} + 1 = a \cdot {q^4}?$% задан 17 Июн '20 1:16 
Igore |
|
Достаточно выбрать простое $%q\equiv 1\pmod8$% (OEIS A007519), что гарантирует разрешимость сравнения $%x^4\equiv -1\pmod{q^4}$%, а затем в соответствующих классах вычетов найти простое $%p$%, наличие которого (и даже бесконечное их количество) гарантирует нам теорема Дирихле. Вот несколько значений $%q$% с минимальными значениями $%p$%: $$(q,p) \in \{ (17, 20051), (41, 15257603), (73, 43648357), (89, 361214369), (97, 685809367), (113, 1838870113), (137, 1072832899), (193, 9343617509) \}$$ отвечен 28 Июн '22 19:01 
maxal |
Да, существуют. Это я видел ещё в ходе решения прошлой задачи. Простое число p=20051 (номер 2268) делится на 17^4.
А при p=20024989 имеет место делимость p^4+1 даже на 17^5.
Простое число ... делится ... Это интересно!
@FEBUS: это я копировал информацию из Maple и ошибся. Конечно, не оно делится, а p^4+1.