|
Найдите 4 натуральных решения уравнения $%x^2+(x+1)^2=y^2$% я нашёл только примеры (3,5) задан 10 Июл '13 20:58 
денис |
|
Это уравнение имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Если $%(x,y)$% -- решение, то $%(3x+2y+1,4x+3y+2)$% также будет решением. Это вытекает из такого непосредственно проверяемого тождества: $$(3x+2y+1)^2+(3x+2y+2)^2-(4x+3y+2)^2=x^2+(x+1)^2-y^2.$$ Способ получения этого тождества связан с так называемым уравнением Пелля, см. стр. 4. Беря пару $%(0;1)$% и применяя к ней последовательно преобразования вида $%(x,y)\to(3x+2y+1,4x+3y+2)$%, получаем бесконечную серию решений $$(3,5)\to(20,29)\to(119,169)\to(696,985)\to\cdots.$$ Можно доказать, что отношение большего числа к меньшему стремится к $%\sqrt{2}$%. отвечен 10 Июл '13 23:47 
falcao |
|
Вообще говоря записать можно решение для более общего уравнения. $$X^2+(X\pm{a})^2=Y^2$$ Надо воспользоваться решениями уравнения Пелля: $%p^2-2s^2=\pm{a}$% Используя их можно записать сами решения: $$X=2s(s+p)$$ $$Y=2s(s+p)+p^2$$ Чтоб перебрать все возможные решения этого уравнения, надо взять какое то предыдущее решение уравнение Пелля. $%p^2-2s^2=a$% И используя их найти следующее по формуле. $$s_{2}=2p+3s$$ $$p_{2}=3p+4s$$ отвечен 17 Сен '14 19:28 
Individ |
Наберите в поисковике "Пифагоровы тройки" и поищите там. Например 20,21,29