$$Найти\quad\lim_{x\rightarrow0+}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^x}.$$

задан 11 Июл '13 12:17

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $$\eta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s},$$ что имеет смысл при всех вещественных $%s > 0$%. Требуется найти предел функции $%-\eta(s)$% при $%s\to0\mathord{+}$%. При $%s > 1$% имеет место следующее разложение в бесконечное произведение: $$\eta(s)=(1-2^{-s}-2^{-2s}-\cdots)(1+3^{-s}+3^{-2s}+\cdots)\cdots(1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots)\cdots,$$ где произведение берётся по всем простым $%p$%, а сам факт вытекает из основной теоремы арифметики. Первый сомножитель здесь равен $%2-(1-2^{-s})^{-1}$%, и если его заменить на $%1+2^{-s}+2^{-2s}+\cdots=(1-2^{-s})^{-1}$%, то получится разложение в бесконечное произведение дзета-функции Римана $$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s},$$ где $%s > 1$%. Для этих значений $%s$% отсюда вытекает тождество $%\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$%. Это же тождество справедливо для аналитических продолжений функций при $%{\mathop{\rm Re\,}}s > 0$%, где продолжение дзета-функции задаётся формулой, справедливой при вещественных $%s > 1$% и доказываемой для этих значений через суммирование Абеля: $$\zeta(s)=s\int\limits_1^{\infty}\frac{\lfloor{x}\rfloor}{x^{s+1}}dx.$$ Этот интеграл после выражения целой части через дробную преобразуется к виду $$\zeta(s)=\frac1{s-1}+\frac12+s\int\limits_1^{\infty}\frac{\{x\}-\frac12}{x^{s+1}}dx.$$ Последний интеграл мажорируется по модулю константой, откуда следует, что при $%s\to0\mathord{+}$% предел $%\zeta(s)$% равен $%-1/2$%. С учётом тождества, связывающего функции $%\eta$% и $%\zeta$%, получаем, что предел $%\eta(s)$% при $%s\to0\mathord{+}$% равен $%(1-2)(-1/2)=1/2$%. Следовательно, предел суммы ряда из условия задачи равен $%-1/2$%.

ссылка

отвечен 11 Июл '13 14:59

изменен 12 Июл '13 2:47

Проверьте решение.

(11 Июл '13 19:29) Anatoliy

@Anatoliy: я исправил несколько опечаток (добавил минусы в показателях степеней в двух местах).

(12 Июл '13 0:12) falcao

Ваш метод дает правильный результат. Есть решение, мне так кажется, попроще. В нем используется преобразование Абеля для рядов и свойство равномерной непрерывности функции (не используется дзета-функция). Раз нет других решений, то принимаю Ваше решение.

(12 Июл '13 12:01) Anatoliy

У меня было ощущение, что можно использовать какой-то приём и свести ряд, например, к интегралу -- подобно тому, как это делается для дзета-функции. Так было бы наверняка проще, но мне сходу не удалось придумать подходящую формулу, и я просто опирался на знакомые мне вещи.

(12 Июл '13 12:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×546

задан
11 Июл '13 12:17

показан
598 раз

обновлен
12 Июл '13 12:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru