Ряды и пределы

Пусть $$\eta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s},$$ что имеет смысл при всех вещественных $%s > 0$%. Требуется найти предел функции $%-\eta(s)$% при $%s\to0\mathord{+}$%. При $%s > 1$% имеет место следующее разложение в бесконечное произведение: $$\eta(s)=(1-2^{-s}-2^{-2s}-\cdots)(1+3^{-s}+3^{-2s}+\cdots)\cdots(1+p^{-s}+p^{-2s}+\cdots)\cdots,$$ где произведение берётся по всем простым $%p$%, а сам факт вытекает из основной теоремы арифметики. Первый сомножитель здесь равен $%2-(1-2^{-s})^{-1}$%, и если его заменить на $%1+2^{-s}+2^{-2s}+\cdots=(1-2^{-s})^{-1}$%, то получится разложение в бесконечное произведение дзета-функции Римана $$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s},$$ где $%s > 1$%. Для этих значений $%s$% отсюда вытекает тождество $%\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$%. Это же тождество справедливо для аналитических продолжений функций при $%{\mathop{\rm Re\,}}s > 0$%, где продолжение дзета-функции задаётся формулой, справедливой при вещественных $%s > 1$% и доказываемой для этих значений через суммирование Абеля: $$\zeta(s)=s\int\limits_1^{\infty}\frac{\lfloor{x}\rfloor}{x^{s+1}}dx.$$ Этот интеграл после выражения целой части через дробную преобразуется к виду $$\zeta(s)=\frac1{s-1}+\frac12+s\int\limits_1^{\infty}\frac{\{x\}-\frac12}{x^{s+1}}dx.$$ Последний интеграл мажорируется по модулю константой, откуда следует, что при $%s\to0\mathord{+}$% предел $%\zeta(s)$% равен $%-1/2$%. С учётом тождества, связывающего функции $%\eta$% и $%\zeta$%, получаем, что предел $%\eta(s)$% при $%s\to0\mathord{+}$% равен $%(1-2)(-1/2)=1/2$%. Следовательно, предел суммы ряда из условия задачи равен $%-1/2$%.