Для любой ли пары действительных чисел $%x, y$% можно подобрать такое действительное число $%z$%, что оба числа $% \sin(x+z), ~\sin(y+z) $% рациональны?

задан 26 Июн 20:16

1

Количество таких z для x - счетно. Для у тоже. А пар (х,у) несчетно. Поэтому наверняка нет. Причём, в каком-то смысле, практически для любых.

(26 Июн 21:17) spades
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%Z=\{z_1,z_2, \ldots \} = \{z: \sin z\in \mathbb Q \}$%

Пусть $%Y_i = \{y: \sin(y+z_i)\in \mathbb Q \}$%

$%Y = \bigcup\limits_{i} Y_i$%.
$%Y$% - счетное объединение не более чем счетных множеств - счетно.
$%Y'=\mathbb R \backslash Y $% - не пусто.
Пусть $%x_0 =0, \, \, y_0 \in Y'$%. Для пары $%(x_0,y_0)$% нельзя подобрать $%z$%, чтобы и $%\sin(x_0+z)$% и $%\sin(y_0+z)$% были рациональны.

ссылка

отвечен 28 Июн 10:43

изменен 28 Июн 10:44

10|600 символов нужно символов осталось
0

Кажется нашел решение. Пусть $%A$% множество таких $% z$%, что $%sin(z)$% рационален. Пусть $%A_t $% множество таких $% z$%. что $%sin(z+t)$% рационален. В силу счетности $%A, A_t$%, существует такое $%t$%, что пересечение $%A ~и~ A_t $% пусто, что в принципе и указал @spades . Выберем $% x = 0$% , $% y= t $%. Тогда $% \sin(x+z) = \sin(x+z)$% рационален, но тогда $% \sin(y+z)$% иррационален.

ссылка

отвечен 28 Июн 0:21

Честно говоря, я не вижу, почему пересечение А и Аt должно быть пусто. Что мешает всем множествам иметь общий элемент? По-моему, надо чуть тоньше.

(28 Июн 10:08) spades
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×11
×8

задан
26 Июн 20:16

показан
115 раз

обновлен
28 Июн 10:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru