1. Как связаны жордановы формы матрицы А и её транспонированной матрицы? (нужно посмотреть на характеристический многочлен ведь, да?)
  2. Любой ли многочлен со старшим коэффициентом (-1)^n (при t^n) может быть характеристическим для некоторой матрицы порядка n (над полем комплексных чисел). (моя мысль: ну, да?? исходя из того, как мы расписываем характеристический многочлен и теоремы Гамильтона-Кэли, но, если можно, какое-нибудь целостное рассуждение).
  3. Доказать, что в двумерном евклидовом пространстве любой оператор с одним вещественным значением приводится к жордановой форме в ортогональном базисе. (честно говоря, не очень понял задачу, никогда с ортогональным базисом не работал при приведении к ЖНФ, вроде)

задан 27 Июн 7:39

1) Определитель A-tE равен определителю транспонированной матрицы, поэтому очевидно, что характеристические многочлены совпадают. Более того, эти две матрицы подобны, хотя это более сильный факт.

2) Возьмём диагональную матрицу с комплексными корнями многочлена на диагонали. Получим заданный многочлен.

3) Тут надо уточнить, что значит "с одним вещественным значением". Собственных значений всегда два, просто они могут совпадать. Нужно точно понять, что спрашивается.

(27 Июн 8:10) falcao

@falcao, 2) Возьмем диагональную матрицу в удобном, ортонормированном базисе ведь, да? 3) Да, подразумевается, что они совпадающие. А как Вам такая вариация этого вопроса: "Верно ли, что любой оператор, все собственные значения которого вещественны, в евклидовом пространстве можно привести к жордановому виду в ортогональной системе координат?" Спасибо Вам за ответы!!

(27 Июн 21:16) localhost

@localhost: там речь идёт о матрице. Она сама по себе. Если бы было оператор, то можно было бы задавать его матрицей в одном или другом базисе. Здесь этого нет.

По поводу последнего -- возьмите оператор проектирования на прямую под углом 45 градусов. Там e1->e1, e2->-e1. Матрица диагонализируема, а тогда жорданов базис состоит из собственных векторов. Он не ортогонален.

(27 Июн 21:52) falcao

@falcao, очень Вам благодарен, что помогаете!

(27 Июн 23:13) localhost
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,310

задан
27 Июн 7:39

показан
95 раз

обновлен
27 Июн 23:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru