По определению, категория называется малой, если класс, состоящий из всех её морфизмов является множеством, и локально малой, если для каждой пары объектов А, В класс морфизмов А->B является множеством.

При этом локальная малость не влечет малость. Получается, что объединение множеств может не быть множеством? (Ведь совокупность всех морфизмов является объединением множества морфизмов А->B по всем парам А,В.) Есть какой-то простой пример этого? И/или пример категории, которая локально мала, но не мала?

Потом, утверждается, что категория мала <=> она локально мала и класс ее объектов является множеством. Как следует импликация <= ?

задан 27 Июн 21:10

изменен 27 Июн 21:13

Объединение двух множеств всегда является множеством. Ссылаемся на аксиому пары, а потом применяем оператор объединения U к {a,b}. Если же множеств много (каламбур!), то ответ, конечно, отрицательный. Всякий ординал -- множество, но их объединение будет классом всех ординалов, а это не множество.

(27 Июн 21:57) falcao

Говорят, что категория множеств локально мала, но не мала. Наверное, то, что множество функций из А в В является множеством следует из теории множеств? А почему совокупность всех функций не множество?

(27 Июн 22:03) Slater

@Slater: если A, B -- множества, то все функции из A в B образуют множество. Это легко следует из аксиом, см. Мендельсон.

То, что класс всех функций не является множеством, очевидно. Он слишком большой. Это из той же серии, что не существует множества всех множеств (хотя класс всех множеств рассматривать правомерно). Всё это есть в учебниках.

(27 Июн 22:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×248

задан
27 Июн 21:10

показан
106 раз

обновлен
27 Июн 22:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru