|
Можно ли вычислить аналитически интеграл $%\int_0^{\pi\cdot r}\{x\}\cdot \cos \frac{x}{r}dx, r\mapsto \infty $%, где $%\{x\} $% - дробная часть $%x$% или, если нет, то сделать оценку вида O(g(r)), где g-некоторая функция? задан 27 Июн '20 21:22 
frost_doter
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
27 Июн '20 21:22
показан
190 раз
обновлен
28 Июн '20 6:39
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
странный у Вас верхний предел
@all_exist, почему? Намекает на замену $%\frac{x}{r}=y$%. Потом можно по теореме о среднем вынести $%\cos\xi$%, потом в интеграле провернуть обратную замену и свести интеграл к сумме. Вроде должно хорошо считаться. В конце можно рассмотреть подпоследовательность типа $%\frac{n}{\pi}$% и показать, что на ней результат расходится к бесконечности... Но это просто набросок решения...
Не заметил, что тут про О-большое спрашивается. Тогда всё проще, и заканчивается либо применением теоремы о среднем, либо, если не устроит функция в виде интеграла, вычислением указанной суммы, без частного случая.
А какую теорему о среднем здесь можно применить?
Теорему о среднем для интеграла Римана. Там, где выносится значение непрерывной функции в промежуточной точке, а вторая функция знакопостоянна.
Получается $%\cos \xi\cdot r\cdot \int_0^{\pi}\{y\cdot r\}dy $%, а что делать с интегралом? Как получить O большое и от чего оно будет? Мне нужно получить O(g(r)), т е от r зависящее конкретно.
Та функция g, которая Вам нужна -- это и есть то, что стоИт после косинуса. Но при желании можно избавиться от интеграла, если выполнить обратную замену yr=x и свести интеграл к сумме интегралов по целочисленным отрезкам+интеграл по оставшемуся кусочку. На этих частях дробная часть расписывается, как и в прошлом вопросе и все интегралы хорошо считаются.
Спасибо! Попробую получить результат.
А я правильно понял, что интеграл получится вида $%\int_0^{\pi\cdot r}\{x\}dx $% и последним отрезком будет $%[[\pi\cdot r], \pi\cdot r] $%?
Всё правильно.
Там получается оценка вида $%\frac{1}{2}\cdot([\pi\cdot r]+([\pi\cdot r]-\pi\cdot r)^2) $%, если я нигде не ошибся. Как можно получить оценки целых частей через элементарные функции (типа степенных функций, многочленов, логарифмов и т.д.)?
Зачем именно такие оценки? Элементарных функций -- меньшинство, а целые части прекрасно считаются, в том числе и на компьютере. Впрочем, если нужна элементарная оценка, то можно учесть, что дробная часть заключена между 0 и 1 и оценить сам интеграл числом пr. Это и будет Ваша элементарная функция.