Можно ли вычислить аналитически интеграл $%\int_0^{\pi\cdot r}\{x\}\cdot \cos \frac{x}{r}dx, r\mapsto \infty $%, где $%\{x\} $% - дробная часть $%x$% или, если нет, то сделать оценку вида O(g(r)), где g-некоторая функция?

задан 27 Июн 21:22

изменен 27 Июн 21:23

странный у Вас верхний предел

(27 Июн 21:33) all_exist

@all_exist, почему? Намекает на замену $%\frac{x}{r}=y$%. Потом можно по теореме о среднем вынести $%\cos\xi$%, потом в интеграле провернуть обратную замену и свести интеграл к сумме. Вроде должно хорошо считаться. В конце можно рассмотреть подпоследовательность типа $%\frac{n}{\pi}$% и показать, что на ней результат расходится к бесконечности... Но это просто набросок решения...

Не заметил, что тут про О-большое спрашивается. Тогда всё проще, и заканчивается либо применением теоремы о среднем, либо, если не устроит функция в виде интеграла, вычислением указанной суммы, без частного случая.

(27 Июн 21:41) caterpillar

А какую теорему о среднем здесь можно применить?

(27 Июн 21:49) frost_doter

Теорему о среднем для интеграла Римана. Там, где выносится значение непрерывной функции в промежуточной точке, а вторая функция знакопостоянна.

(27 Июн 21:50) caterpillar

Получается $%\cos \xi\cdot r\cdot \int_0^{\pi}\{y\cdot r\}dy $%, а что делать с интегралом? Как получить O большое и от чего оно будет? Мне нужно получить O(g(r)), т е от r зависящее конкретно.

(27 Июн 21:54) frost_doter

Та функция g, которая Вам нужна -- это и есть то, что стоИт после косинуса. Но при желании можно избавиться от интеграла, если выполнить обратную замену yr=x и свести интеграл к сумме интегралов по целочисленным отрезкам+интеграл по оставшемуся кусочку. На этих частях дробная часть расписывается, как и в прошлом вопросе и все интегралы хорошо считаются.

(27 Июн 21:57) caterpillar

Спасибо! Попробую получить результат.

(27 Июн 21:58) frost_doter

А я правильно понял, что интеграл получится вида $%\int_0^{\pi\cdot r}\{x\}dx $% и последним отрезком будет $%[[\pi\cdot r], \pi\cdot r] $%?

(27 Июн 22:03) frost_doter

Всё правильно.

(27 Июн 22:10) caterpillar

Там получается оценка вида $%\frac{1}{2}\cdot([\pi\cdot r]+([\pi\cdot r]-\pi\cdot r)^2) $%, если я нигде не ошибся. Как можно получить оценки целых частей через элементарные функции (типа степенных функций, многочленов, логарифмов и т.д.)?

(27 Июн 22:13) frost_doter

Зачем именно такие оценки? Элементарных функций -- меньшинство, а целые части прекрасно считаются, в том числе и на компьютере. Впрочем, если нужна элементарная оценка, то можно учесть, что дробная часть заключена между 0 и 1 и оценить сам интеграл числом пr. Это и будет Ваша элементарная функция.

(28 Июн 6:39) caterpillar
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,679
×153

задан
27 Июн 21:22

показан
158 раз

обновлен
28 Июн 6:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru