В книге Виноградов "Основы теории чисел" есть теорема (в виде задачи): Пусть $%A>2, k\geq 1$% и в интервале $%a\leq x\leq b$% функция $%f(x)$% имеет непрерывную вторую производную такую, что $%\frac{1}{A}\leq |{f}''(x)|\leq \frac{k}{A}$%. Тогда $%\sum\limits_{a<x\leq b}\{f(x)\}=\frac{1}{2} \cdot (b-a)+\theta\cdot \Delta$%, где $%|\theta|<1, \Delta=(2k^2\cdot (b-a)\cdot \ln A+8kA)\cdot A^{-\frac{1}{3}}$%. Так, например, в одной задаче применяется эта теорема: пусть $% f(x)=\sqrt(r-x^2), x\in [0,\frac{r}{\sqrt(2)}]$%. Тогда выполняются неравенства $%\frac{1}{r}\leq |{f}''(x)|\leq \frac{\sqrt(8)}{r} $% и, следовательно, теорема применима (они получают оценку вида $%O(r^{\frac{2}{3}}\cdot \ln r) $%). Применима ли теорема для функции $% f(x)=r\cdot \sin \frac{x}{r}$%, заданной на отрезке $%[0,\pi\cdot r]$%?

задан 28 Июн 2:09

изменен 28 Июн 2:17

Очевидно, что нет, ибо вторая производная может принимать нулевое значение, т.е. оценка снизу не получится.

(28 Июн 6:23) caterpillar

@caterpillar: я не очень понимаю, какое значение может иметь оценка снизу на модуль второй производной. Допустим, функция линейна. Разве для неё тогда не пройдут оценки сверху в виде О большого от чего-то?

@frost_doter: в Вашем примере, который уже рассматривали, вторая производная равнялась синусу. На концах он был равен 0. Тогда можно отделить концы в виде отрезков длиной eps, интегралы по концам маленькие, а между ними вторая производная ограничена положительными константами с обеих сторон. То есть там не должно быть препятствий. С другой стороны, я думаю, что лучше взять другие формулы.

(28 Июн 13:31) falcao

(продолжение) Посмотрите материал про суммирование Эйлера - Маклорена -- там есть общий метод получения таких оценок.

(28 Июн 13:32) falcao

@falcao, я ориентируюсь исключительно на приведённое условие теоремы (мне она не знакома, как и доказательство). Под это условие функция в вопросе не подходит, об чём и был вопрос, как я понял.

(28 Июн 13:45) caterpillar

@falcao, а не могли бы посоветовать какой-нибудь материал, где рассматривается пример исследования суммы дробных частей с помощью этой формулы?

(28 Июн 14:08) frost_doter

@frost_doter: там суммируются f(1)+...+f(n), и уже после первого шага получается оценка с дробной частью. На это надо смотреть как на этап вычислений. Дальше там есть формула получения асимптотики любого порядка. Вы просто абстрагируйтесь пока от частной задачи, и изучите по какому-то подходящему источнику. Сам по себе материал полезный. С его помощью. всё должно делаться.

(28 Июн 15:20) falcao

@caterpillar: я понял, что Вы имели в виду, но свой вопрос задавал как бы "поверх" этого.

(28 Июн 17:23) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,593
×151

задан
28 Июн 2:09

показан
57 раз

обновлен
28 Июн 17:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru