Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как можно показать равномерную сходимость в этих двух примерах: 1) $$1/(1+ y^2/n)^n ⇉ e^{-y^2} $$ здесь я понимаю, справа точно предельная функция (по второму замечательному пределу), но не пойму как доказать именно равномерную сходимость. 2) $$∫_0^∞ dy/(1+ y^2/n)^n ⇉$$

задан 28 Июн 13:11

изменен 28 Июн 13:18

В первом воспользуйтесь критерием сходимости функциональной последовательности через предел точной верхней грани. Во втором признаком Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов с параметром

(28 Июн 13:47) haosfortum

@ivanetta, в первом примере не указано, на каком множестве исследуется равномерная сходимость. Без этого указания ставить такую задачу бессмысленно.

(28 Июн 14:13) caterpillar

@haosfortum по Вейерштрасса пробовал просто 1/(1+y^2), но не уверен, что она больше моей функции

(28 Июн 14:13) ivanetta

@caterpillar на R при n→ +∞

(28 Июн 14:18) ivanetta

@ivanetta: в последнем равенстве двойная стрелка неуместна. Там должен быть переход к пределу под знаком интеграла, и значением будет число. Предел там обычный, то есть стремление обычное.

(28 Июн 15:18) falcao

@ivanetta, тогда с первым заданием всё ясно -- никаких трудностей, кроме технических (при исследовании на максимум при помощи производной).

Во втором можно показать, что знаменатель больше, чем 1+y^2, используя производную и соображения монотонности.

(28 Июн 15:23) caterpillar

@falcao Одним из условий, что предельный переход под знаком несобственного интеграла возможен - это равномерная сходимость этого несобственного интеграла, что и нужно мне доказать

(28 Июн 15:27) ivanetta

@ivanetta: да, так и есть. Тогда Вы пишете вверху условие с двойной стрелкой, и доказываете равномерную сходимость. Но не по Вейерштрассу, а при фиксированном n оцениваете sup модуля разности. После этого во втором равенстве можно осуществлять предельный переход, и тогда интеграл будет стремиться к числу. Вид стрелки там только ->, другой не подходит.

(28 Июн 15:40) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,592
×133

задан
28 Июн 13:11

показан
119 раз

обновлен
28 Июн 15:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru