Дана последовательность: $$ y_{n} = n^2 + n, n \in N $$ Найти сумму ее элементов, если она существует: $$2+6+12+20+30+...+(n+1)n$$ Дайте подсказку.
Задачу поставил себе сам. Мой уровень: 11 класс.

задан 12 Июл '13 12:50

Для Вашего случая общая формула будет даже несколько проще, чем для суммирования квадратов. В частности, здесь можно угадать общую закономерность, а потом доказать её методом математической индукции. Суммы здесь получаются такие: 2, 8, 20, 40, 70, ... . Можно подумать о том, какие множители возникают в разложении этих чисел.

(12 Июл '13 13:53) falcao

Я сначала пробовал так делать, ничего не вышло. Но получив ответ, что формулы существуют, я успешно сумел их вывести.

(24 Июл '13 21:42) kloc5ee

Иногда бывает интересно посмотреть, к чему ведёт такие "эвристические" методы. Бывает так, что их реально приходится применять. Конечно, в данном случае всё просто, но допустим, что мы вообще не знаем о том, что числа получены суммированием. Просто нам даны вот эти 2, 8, 20, 40, 70, 112, ... .Обратим внимание, что 70 делится на 7 и допустим, что это не случайно, то есть это "свой" множитель. При этом 40 не делится на 6, но зато 20 делится на 5. Можно рискнуть и поделить на n+2: 2/3, 2, 4, 20/3, 10, ... . Видим, что 3 мешает, домножаем на него: 2, 6, 12, 20, 30, ... (продолжение следует)

(24 Июл '13 23:53) falcao

(продолжение) Здесь уже почти сразу видно, что это 1\cdot2, 2\cdot3, ..., но даже если это не будет очевидно, можно применить тот же метод. Значит, здесь у нас n(n+1), а изначально было n(n+1)(n+2)/3, что доказывается по индукции. Кстати, есть ещё метод суммирования, основанный на представлении общего члена в виде разности. Например, если суммировать величины, обратные Вашим, то есть 1/2 + 1/6 + 1/12 + ..., то всё ещё проще: это (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+..., и в середине все числа взаимно сокращаются.

(24 Июл '13 23:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$Для \quad сумм\quad \sum_{i=1}^ni^2 \quad и \quad\sum_{i=1}^ni\quad существуют \quadобщеизвестные\quad формулы.$$

ссылка

отвечен 12 Июл '13 13:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×209

задан
12 Июл '13 12:50

показан
1427 раз

обновлен
24 Июл '13 23:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru