последовательность - Найти сумму элементов последовательности

Для Вашего случая общая формула будет даже несколько проще, чем для суммирования квадратов. В частности, здесь можно угадать общую закономерность, а потом доказать её методом математической индукции. Суммы здесь получаются такие: 2, 8, 20, 40, 70, ... . Можно подумать о том, какие множители возникают в разложении этих чисел.

Я сначала пробовал так делать, ничего не вышло. Но получив ответ, что формулы существуют, я успешно сумел их вывести.

Иногда бывает интересно посмотреть, к чему ведёт такие "эвристические" методы. Бывает так, что их реально приходится применять. Конечно, в данном случае всё просто, но допустим, что мы вообще не знаем о том, что числа получены суммированием. Просто нам даны вот эти 2, 8, 20, 40, 70, 112, ... .Обратим внимание, что 70 делится на 7 и допустим, что это не случайно, то есть это "свой" множитель. При этом 40 не делится на 6, но зато 20 делится на 5. Можно рискнуть и поделить на n+2: 2/3, 2, 4, 20/3, 10, ... . Видим, что 3 мешает, домножаем на него: 2, 6, 12, 20, 30, ... (продолжение следует)

(продолжение) Здесь уже почти сразу видно, что это 1\cdot2, 2\cdot3, ..., но даже если это не будет очевидно, можно применить тот же метод. Значит, здесь у нас n(n+1), а изначально было n(n+1)(n+2)/3, что доказывается по индукции. Кстати, есть ещё метод суммирования, основанный на представлении общего члена в виде разности. Например, если суммировать величины, обратные Вашим, то есть 1/2 + 1/6 + 1/12 + ..., то всё ещё проще: это (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+..., и в середине все числа взаимно сокращаются.