Найдите все $%a$%, при которых уравнение $$2\sin x-a\sin2x=|2\sin x-1|$$ имеет единственный корень на промежутке $%(0; \pi/2]$%.

задан 28 Июн 14:08

10|600 символов нужно символов осталось
3

Точку $%x=\frac{\pi}2$% сразу можно исключить, так как она даёт $%2=1$% при любом $%a$%.

Если $%x\in(0,\frac{\pi}6]$%, то правая часть равна $%1-2\sin x$%, и получается $%a=\frac{4\sin x-1}{\sin2x}$%. При $%x\in[\frac{\pi}6,\frac{\pi}2)$% правая часть равна $%2\sin x-1$%, что даёт $%a=\frac1{\sin2x}$%.

Таким образом, можно рассмотреть график функции $%f(x)$% на $%(0,\frac{\pi}2)$%, где $%f(x)=\frac{4\sin x-1}{\sin2x}$% на $%x\in(0,\frac{\pi}6]$% и $%f(x)=\frac1{\sin2x}$% на $%x\in[\frac{\pi}6,\frac{\pi}2)$%, и далее выяснить, при каких $%a$% уравнение $%f(x)=a$% имеет ровно одно решение.

Легко заметить, что $%f(x)\to-\infty$% при $%x\to0+$%, а также $%f(x)\to+\infty$% при $%x\to\frac{\pi}2-$%. На первом из промежутков функция $%f(x)$% возрастает, что можно выяснить при помощи производной (промежуточные вычисления я опускаю). Значение на правом конце равно $%\frac2{\sqrt3}$%. На втором промежутке функция убывает при $%x\in[\frac{\pi}6,\frac{\pi}4]$%, принимая значение $%1$% в нижней точке, и далее возрастает.

Таким образом, функция $%f(x)$% принимает все значения, и из сказанного следует, что ровно один раз принимаются значения из $%a\in(-\infty,1)\cup(\frac2{\sqrt3},+\infty)$%.

ссылка

отвечен 28 Июн 14:32

@falcao, хотел избежать графический способ, но похоже, что без него легче не будет.. спасибо за решение!

(28 Июн 14:36) cs_puma

@cs_puma: здесь график выполняет чисто наглядную роль, подобно чертежу в геометрической задаче. На него мы смотрим, но все выводы делаем на уровне каких-то правил. В нашем случае это касается свойств возрастания и убывания.

(28 Июн 15:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×250

задан
28 Июн 14:08

показан
104 раза

обновлен
28 Июн 15:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru