Найдите все пары натуральных $%(a,b)$% при которых: $%b+1$% кратно $%a$%, а $%a^2-2$% кратно $%b$%

задан 28 Июн 22:23

10|600 символов нужно символов осталось
3

$%\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b + 1 = ak \hfill \\ {a^2} - 2 = bm \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ m < 0 \Rightarrow {a^2} - 2 < 0 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow bm = - 1 \Rightarrow b = 1 \hfill \\ k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = a - 1 \hfill \\ m = a + 1 - \frac{1}{{a - 1}} \hfill \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ {\text{При }}m > 0,{\text{ }}k \geqslant 2 \hfill \\ {a^2} - 2 = \left( {ak - 1} \right)m \Leftrightarrow {a^2} - akm + m - 2 = 0 \hfill \\ D = {k^2}{m^2} - 4m + 8 \hfill \\ {\left( {km - 1} \right)^2} < {k^2}{m^2} - 4m + 8 < {\left( {km + 1} \right)^2} \Rightarrow m = 2 \hfill \\ {a^2} = 2 \cdot \left( {ak - 1} \right) + 2 \Leftrightarrow a = 2k \hfill \\ {\text{Ответ: }}\left( {1;1} \right);\left( {2k;2{k^2} - 1} \right),{\text{ }}k \in \mathbb{N}. \hfill \\ \end{array}$%

ссылка

отвечен 28 Июн 23:23

изменен 29 Июн 2:43

1

@Igore: откуда взялось двойное неравенство в третьей снизу строке?

Есть ещё решение (1,1), которое было упущено.

(29 Июн 0:00) falcao

@falcao, да неравенства верны при k>1, m>0, случаи k=1 и m<1 надо рассматривать отдельно

(29 Июн 0:26) Igore

@Igore: решение проходит, но надо аккуратнее проверить отдельные случаи. Подлежит проверке, скорее, a=1, когда m оказывается отрицательным.

(29 Июн 0:34) falcao
1

На всякий случай: у меня рассуждение было примерно такое. Число a^2-2 делится на ak-1. Если a=1, то k=2, b=1. Если a>=2, то a^2-2 натуральное, и оно >=ak-1, откуда k < a. Тогда k^2(a^2-2) делится на ak-1, откуда ясно, что 2k^2-1 делится. Если частное =1, то a=2k, b=2k^2-1. Если частное > 1, то 2k^2-1>=2(ak-1)>=2(k^2+k-1) -- противоречие.

(29 Июн 0:57) falcao

@Igore: по-моему, в переработанном виде решение стало хуже. Оно непомерно удлинилось, и там рассматриваются лишние случаи.

(29 Июн 2:10) falcao

@falcao: просто двойное неравенство для дискриминанта верно при $%m \geqslant 2,k \geqslant 2$%. Остальные случаи пришлось расписать.

(29 Июн 2:17) Igore

@Igore: случай a=1 сразу ясен. Если a>=2, то m > 0. При k>=2 двойное неравенство выполнено. Если k=1, то D=(m-2)^2+4 влечёт m=2.

(29 Июн 2:24) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×866
×201
×71

задан
28 Июн 22:23

показан
165 раз

обновлен
29 Июн 2:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru