Как подсчитать такой интеграл? Подозреваю, что что-то простое, но в голову не приходит идея $$\int\int\int_{x^2+y^2+z^2<9} 2x^{20}+4y^{20}-6z^{20}-20\ dxdydz$$

задан 28 Июн 23:01

1

@bbbbbb: а куда пропали скобки?

Если перейти к сферическим координатам, то получится тригонометрического вида интеграл, который в принципе вычисляется, но громоздко. Он, наверное, вычисляется и при показателе 2020 вместо 20, только непонятно, откуда и зачем такие "красоты". И то, что 2 можно вынести за скобку, тоже не добавляет задаче естественности.

Maple выдал нечто вроде -6268622871822619453245*п/243676905472. Можно ли это применить в "народном хозяйстве"? :)

(29 Июн 0:11) falcao
1

@bbbbbb: сорри, я в формулах сферической замены перепутал синус и косинус.

Но ответ там всё равно не 0, а что-то типа -720п.

(29 Июн 0:20) falcao

Вообще-то задача устная, и никаких интегралов не надо. Тут важно, что 2+4=6. Из соображений симметрии, интегралы от t^20 одинаковы при t=x,y,z. Остаётся -20 умножить на объём шара.

(29 Июн 0:22) falcao

@falcao, так, а что в моем решении тогда не так?

(29 Июн 0:22) haosfortum

@haosfortum: лучше брать угол от 0 до п, чтобы знак якобиана не менялся (а то модуль якобиана надо брать). Там важно только последнее константное слагаемое. При 1 получается объём шара.

(29 Июн 0:27) falcao

@falcao, хм, как-то я упустил этот момент при изучении тройного интеграла в сферических координатах. Мне вроде даже говорили, что зенитный угол "канонически" принимает значения от $%-\pi/2$% до $%\pi/2$%

(29 Июн 0:33) haosfortum

@haosfortum: тогда надо помнить про знак якобиана, или использовать симметрию.

(29 Июн 0:36) falcao

@falcao, спасибо!

(29 Июн 0:48) bbbbbb
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Перейдем к сферической с.к. стандартным переходом $%x = \rho\cos\phi\sin\theta, y = \rho\sin\phi\sin\theta, z = \rho\cos\theta$%. Подставим все в формулу, не забываем домножить на якобиан, переходим к повторному интегралу. Получим следующее: $$\int\limits_0^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{3}\rho^2 d\rho\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}(2\rho^{20}\cos^{20}\!\!\phi\sin^{21}\!\!\theta + 4\rho^{20}\sin^{20}\!\!\phi\sin^{21}\!\!\theta - 6\rho^{20}\cos^{20}\!\!\theta\sin\theta-20\sin\theta)d\theta$$ $%\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^{21}\!\!\theta d\theta = 0$%, поэтому первые два члена интеграла обнуляются. $%\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{20}\!\!\theta\sin\theta d\theta = 0$%, это легко решается занесением синуса под дифференциал. Ну и $%\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta d\theta = 0$%. В итоге все просто обнулится.

ссылка

отвечен 29 Июн 0:09

изменен 29 Июн 0:14

@haosfortum, спасибо!

(29 Июн 0:14) bbbbbb

@haosfortum, а разве тета не будет меняться от 0 до пи?

(29 Июн 0:39) bbbbbb

@haosfortum, всё, увидел записи выше

(29 Июн 0:41) bbbbbb
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,592

задан
28 Июн 23:01

показан
74 раза

обновлен
29 Июн 0:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru