|
Рассмотрим выражения, получающиеся из n переменных и 1 с помощью арифметических операций и операции извлечения квадратного корня как функции от n переменных. Стоит задача определения того, являются ли две такие функции одинаковыми или разными. Я представляю их в виде ряда одночленов от этих переменных. Как по этим функциям понять, сколько коэффициентов этих рядов достаточно сравнить, чтобы убедиться, что эти функции равны(это предположение, вполне возможно, что нахождение этого количества не проще, чем сама задача)? задан 12 Июл '13 18:22 
dmg3 |
|
С квадратным корнем может возникнуть некоторая проблема: поскольку его не всегда можно извлекать, то в результате серии арифметических действий может получиться выражение, принимающее отрицательные значения, то есть область определения соответствующей функции окажется пустой. Что касается разложения в ряды, то здесь также возникает проблема, в окрестности какой точки происходит это разложение. Для разных квадратных корней соответствующая точка может быть разной, что представляет собой проблему. Что касается совпадения рядов вплоть до какого-то $%n$%-го члена, то отсюда, вообще говоря, никаких выводов сделать нельзя. Если речь идёт не о теоретическом, а о чисто практическом уровне, то можно просто подставлять в функции случайно взятые числа и проверять, совпадают ли значения с некоторой заданной точностью. На уровне теории, здесь есть кое-какие результаты. Надо сказать, что они сравнительно недавние (80-е годы XX века), и техника там может быть довольно сложной. В частности, известен вот какой факт. Рассмотрим две операции: прибавление единицы и возведение в куб. То есть имеются две функции: $%f(x)=x+1$% и $%g(x)=x^3$%. Обе эти функции имеют обратные, то есть рассматриваются также функции $%f^{-1}(y)=y-1$% и $%g^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$%. Рассматривается серия таких преобразований, при которых два взаимно обратных преобразования не применяются подряд. Оказывается, что при этом все функции получаются разные, то есть совпадения невозможны. На алгебраическом языке это означает, что группа, порождённая функциями $%f$% и $%g$%, свободна. Вот ссылка на соответствующую статью: S. White, The group generated by $%x \mapsto x+1$% and $%x \mapsto x^p$% is free, Journal of Algebra 118, 408-422 (1988). MR 90a:12014. Доказательство там достаточно непростое, с использованием техники типа теории Галуа. Для функций, допускающих разложение в ряды, также есть соответствующая (весьма обширная) литература, в которой эти вопросы изучаются. Как правило, эти проблемы достаточно нетривиальны. отвечен 13 Июл '13 2:38 
falcao |