В кольце Z[x] для идеала A=(x^2,3x) справедливо что-то из: A=(3x), A=(x^2), A=(3x^2), A=(x) А - не главный идеал.

Я полагаю, что А не является главным идеалом, так как он не образован только 1 элементом кольца.

задан 29 Июн 14:27

Идеал здесь не главный, только это надо обосновывать. Вдруг он равен (f(x)) для какого-то многочлена f(x)? Но это не так, поскольку f(x)=xg(x), где g(x) делит как x, так и 3. В этом случае g(x)=1, но равенство A=(x) неверно, так как x не принадлежит идеалу A. В противном случае x раскладывался бы по x^2 и 3x, а тогда 1 раскладывается по x и 3. Это значит, что 1=xu(x)+3v(x) для некоторых многочленов u,v с целыми коэффициентами. Подставляя x=3, имеем противоречие.

(29 Июн 14:38) falcao

@falcao, подскажите пожалуйста, верны ли мои суждения:

Распишем, как выглядит идеал: A=(x^2,3x)=z1x^2+z23x +/- x^2 +/- 3x ... +/- x^2 +/- 3x.

Смотрим, что такое мы не могли бы получить из идеала, например, (x^2) - не получим x в первой степени никак. (3x) - не получим x^2 (в поле целых нельзя обратить 3 и получить коэффициент 1). (3x^2) - аналогично. (x) - вот тут не понимаю пока...

Ваше решение с момента "В противном случае x раскладывался бы" не совсем понятно.

(29 Июн 17:01) vanya_ne_gay...

@vanya_ne_gay...: Вы написали какую-то странную формулу, которая непонятно что отражает.

Начать надо с понимания обозначений. Если мы в коммутативном кольце порождаем идеал несколькими элементами, то это означает, что мы каждый из них имеем право домножать на что угодно, а потом всё складывать. Это и есть та форма, которую я использовал. То есть элемент идеала имеет вид x^2u(x)+3xv(x), где u,v -- любые многочлены. Это определение.

(29 Июн 18:31) falcao

@falcao Извиняюсь, это понял. Однако все еще ума не приложу, что именно означает "в противном случае" и откуда взялась разложимость x по x^2 и 3x.

(29 Июн 18:51) vanya_ne_gay...
1

@vanya_ne_gay...: мы рассуждаем от противного. Предположили, что идеал главный. Тогда A=(f(x)) для какого-то многочлена. Все элементы A делятся на x, поэтому сразу пишем f(x)=xg(x). После сокращения на x получается, что (x,3)=(g(x)). На g(x) делятся оба многочлена x, 3. Значит, можно считать, что g(x)=1. Тогда 1 принадлежит идеалу (x,3). Как мы уже поняли, это значит, что 1 имеет вид xu(x)+3v(x) в силу того, что называется идеалом, порождённым двумя элементами. Но тождество 1=xu(x)+3v(x) невозможно, так как при x=3 левая часть не делится на 3, а правая делится. Противоречие.

(29 Июн 19:06) falcao

Сделаю добавление насчёт трактовки слов. Вы читаете текст, где что-то утверждается: "x не принадлежит идеалу A". Это пока никак не было обосновано. Значит, обоснование идёт дальше. Оно предполагает рассуждение от противного, так как следующие слова -- "В противном случае". Читаете дальше, и смотрите, как это предположение (что x принадлежит A -- это и есть "противный случай") приводится к противоречию, как и положено.

Я привык обосновывать даже простые вещи, но я никогда не расставляю "логические вехи". Считаю, что это "обрамление" само собой разумеется, и читатель это понимает однозначно.

(29 Июн 19:10) falcao

@falcao Стало намного понятнее. Однако откуда мы сделали вывод о том, что 1 принадлежит идеалу (x, 3)? Из (x,3)=(g(x)) и того, что g(x) = 1?

(29 Июн 19:20) vanya_ne_gay...

@vanya_ne_gay...: это самоочевидная вещь. Ведь g(x), про который явно сказано, что он равен 1, принадлежит своему главному идеалу, а потому и (x,3).

Такого рода вопросы для меня как "постороннего" человека говорят о том, что Вы нетвёрдо владеете определениями. Тогда "зазубрите" их, и каждый раз с этими формулировками сверяйтесь!

(29 Июн 19:34) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×998
×846
×429

задан
29 Июн 14:27

показан
127 раз

обновлен
29 Июн 19:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru