Здравствуйте! Не совсем понимаю, как выглядит группа автоморфизмов по группе Z/nZ. И каким другим группам Z/mZ она может быть изоморфна...

задан 29 Июн 16:15

1

@vanyapupkin: для начала надо научиться правильно говорить. Группа автоморфизмов бывает сама по себе: если G -- группа, то Aut(G) -- группа её автоморфизмов. Это факторгруппа бывает по нормальной подгруппе, а здесь говорят совсем по-другому.

Правильно ли я понимаю, что стоит задача нахождения Aut(Z/nZ) для случая произвольного n?

(29 Июн 18:13) falcao
1

@falcao Да, верно

(29 Июн 18:28) vanyapupkin

В таком случае это целая глава учебника. Начать надо с элементарного факта: автоморфизм определяется образом единицы, это может быть любое число, взаимно простое с n. Композиции автоморфизмов соответствует перемножение чисел, то есть Aut(Z/nZ) равно мультипликативной группе кольца вычетов по модулю n, а порядок её равен ф(n). Строение такой группы описывается в учебниках, и критерий цикличности там тоже даётся. При этом надо знать теорему о первообразном корне (случай n=p -- простое), далее случай n=p^k (степень простого). См. в Кострикине стр. 448 и далее по изданию 1977 года.

(29 Июн 18:43) falcao

@falcao А можно ли определить изоморфна ли группа автоморфизмов группы Z/nZ группе автоморфизмов группы Z/mZ без определения их представлений?

(29 Июн 19:03) vanyapupkin

Критерий цикличности группы Aut(Z/nZ) -- это нетривиальная теорема теории чисел. Готовый ответ, при каких n такая группа циклична, дан в книге Кострикина. В вопросе у Вас, как я понимаю, это и спрашивается, то есть когда Aut(Z/nZ) циклична, то есть изоморфна Z/mZ.

Вопрос о том, когда Aut(Z/nZ) изоморфна Aut(Z/mZ), насколько я понимаю, никто не ставил. Там всё следует из строения, но даже вопрос совпадения порядков, то есть случай ф(m)=ф(n), довольно "мутный". Лучше изучать теорию, а не задаваться такими искусственными вопросами.

(29 Июн 19:16) falcao

@falcao ой, вижу, да. Вопрос задан изначально совсем не верно. Извиняюсь.

(29 Июн 19:28) vanyapupkin
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×998
×429

задан
29 Июн 16:15

показан
97 раз

обновлен
29 Июн 19:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru