Через точку С на окружности радиуса 1 проведен диаметр СЕ,касательная СА, и под углом 60 градусов к касательной - секущая АD,пересекающаяся с продолжением за точку Е диаметра СЕ в точке D. Секущая AD пересекает окружность в точках M и N, AM<AN, 3AM=4ND. Найти MN.

У меня получается система из четырех уравнение с 4 переменными, которую не могу решить.

задан 13 Июл '13 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

$%CE-$% диаметр; $%CA-$% касательная; $%AD-$%секущая. Обозначим $%DE=y;DN=x,$% тогда $$DC=2+y;DA=\frac{2(2+y)}{\sqrt{3}};AC=\frac{2+y}{\sqrt{3}};AM=\frac{4}{3}x.$$ Применяя свойства отрезков секущих и касательной в окружности, будем иметь: $$\begin{cases}AC^2=AM\cdot AN,\\DE\cdot DC=DN\cdot DM,\\DE=y;DN=x,\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{(2+y)^2}{3}=\frac{4}{3}x\cdot \Big(\frac{2(2+y)}{\sqrt{3}}-x\Big),\\y(2+y)=x\cdot\Big(\frac{2(2+y)}{\sqrt{3}}-\frac{4}{3}x\Big) ,\\DE=y;DN=x,\end{cases}\Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow\begin{cases}(2+y)^2=\frac{8x(2+y)}{\sqrt{3}}-4x^2,\\3(2+y)^2-6(2+y)=\frac{6x(2+y)}{\sqrt{3}}-4x^2 ,\\DE=y;DN=x.\end{cases}$$ Вычитая из первого уравнения системы второе, получим $$6(2+y)-2(2+y)^2=\frac{2x(2+y)}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow 3-(2+y)=\frac{x}{\sqrt{3}}.$$ Из последнего уравнения Вы можете выразить $%2+y$% через $%x$%, подставив в одно из уравнений системы найдете $%x$%, затем $%y$%. После этого нетрудно найти $%MN$%.

ссылка

отвечен 17 Июл '13 13:30

изменен 17 Июл '13 22:34

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%AM=4x$%, $%ND=3x$%. Положим также $%MN=y$%. Тогда $%AD=7x+y$%, и $%AC=AD/2$% как катет против угла в 30 градусов. По свойствам касательной и секущей, $%AM\cdot AN=AC^2$%, то есть $%4x(4x+y)=(7x+y)^2/4$%. Разделив на $%x^2$%, получаем квадратное уравнение относительно $%y/x$%, решая которое, имеем $%y=5x$%.

Полагая $%z=DE$%, из свойств касательных приходим к уравнению $%DE\cdot DC=DN\cdot DM$%, то есть $%z(z+2)=24x^2$%. Далее, опуская из центра $%O$% окружности перпендикуляр с основанием $%K$% на $%MN$%, имеем прямоугольный треугольник $%DOK$% с углом 30 градусов при вершине $%D$%. Сравнивая гипотенузу $%DO$% и катет $%DK$%, а также возводя в квадрат, имеем $%(z+1)^2=4(3x+5y/2)^2/3=121x^2/3$%. Осталось заметить, что $%(z+1)^2$% на единицу больше, чем $%z(z+2)$%, что приводит к уравнению на $%x^2$%, из чего далее все величины легко находятся.

ссылка

отвечен 13 Июл '13 22:25

Если AM=4x, то ND=3x/4.

(15 Июл '13 19:22) 123

@123: В условии сказано, что $%3AM=4ND$%. Поэтому, если $%AM=4x$%, то $%ND=3AM/4=3(4x)/4=3x$%, как и было заявлено.

(16 Июл '13 1:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×544

задан
13 Июл '13 21:13

показан
469 раз

обновлен
17 Июл '13 22:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru