Пусть $%x,y \in N$%.Можно ли, как-то описать пары $%(x,y)$%,для которых число $%x^2+y^2$% делится на $%x+y$% ?

задан 30 Июн 2:06

Пусть $%x>y$%: $$x^2 - kx + y^2 -ky = 0$$ $$x' = k - x = \frac{y(y-k)}{x} < y < x$$ От пары $%(x,y)$% переходим к паре $%(y,x')$%

Только тут этот "прыжок" Виета ,надо использовать наоборот..

(30 Июн 2:55) potter
10|600 символов нужно символов осталось
3

Описать можно, на манер того, как описываются пифагоровы тройки. Вспомним, что там берутся пары взаимно простых чисел разной чётности, по каждой из них составляется неприводимая тройка, а потом идёт домножение на некоторое число. Здесь дело обстоит похоже.

Прежде всего, условие равносильно тому, что $%2xy$% делится на $%x+y$%. Обозначим $%d=НОД(x,y)$%, и пусть $%x=da$%, $%y=db$%. Получается, что $%2dab$% делится на $%a+b$%. Ввиду взаимной простоты $%a$% и $%b$%, эти числа взаимно просты с $%a+b$%, и на них можно сократить, получая, что $%2d$% делится на $%a+b$%.

Если числа $%a$%, $%b$% имеют разную чётность, что $%d$% кратно $%a+b$%, то есть $%d=k(a+b)$%, где $%k$% -- любое натуральное. Это даёт серию $%x=k(a+b)a$%, $%y=k(a+b)b$%. Если чётность $%a$% и $%b$% одинаковая (это значит, что оба они нечётны), то $%d$% делится на $%\frac{a+b}2$%, и тогда для любого натурального $%k$% имеем пару $%x=k\frac{(a+b)a}2$%, $%y=k\frac{(a+b)b}2$%. Заметим, что повторов здесь не возникает, то есть пары закодированы однозначно, подобно пифагоровым тройкам.

Для примера: случай $%a=b=1$% даёт все пары с условием $%x=y$%; при $%a=1$%, $%b=2$% имеем пары $%(x,y)=(3k,6k)$%; для $%a=1$%, $%b=3$% получается $%(x,y)=(2k,6k)$%, и так далее.

ссылка

отвечен 30 Июн 2:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×866
×201

задан
30 Июн 2:06

показан
161 раз

обновлен
30 Июн 2:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru