Для каждого значения b найдите все пары чисел (x,y), удовлетворяющие уравнению $$b\sin 2y + {\log _4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}$$

это уравнение из раздела "выделение неотрицательных выражений". Возможно, тут можно выделить полный квадрат, но необязательно так и будет.

Может быть, удобнее рассматривать это уравнение в таком виде: $$b\sin 2y + \frac{1}{8}{\log _4}( - 4{t^2} + t) = {b^2},\,\,\,t = {x^8}$$

Подскажите, пожалуйста, идею решения.

задан 14 Июл '13 11:58

1

Оба ответа верные. Чтобы соблюсти формальности я отмечу правильным самый первый по времени ответ. Всем большое спасибо!

(14 Июл '13 20:23) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
1

Прежде всего, надо понять, какие значения может принимать логарифм. Для этого составим уравнение $%\log_4(x\sqrt[8]{1-4x^8})=c$%, Тогда $%x\sqrt[8]{1-4x^8}=4^c$%, то есть $%x > 0$% и $%x^8(1-4x^8)=4^{8c}$%. Домножаем на $%4$%, делаем замену $%t=4x^8$%, откуда $%t(1-t)=4^{8c+1}$%, и при этом $%t\in(0;1)$%. На этом интервале множество значений левой части равно $%(0;1/4]$%, откуда $%8c+1\le-1$%, то есть $%c\le-1/4$%. Очевидно также, что при каждом таком $%c$% найдутся положительные относительно $%t$% решения.

Таким образом, исходное уравнение имеет вид $%b^2-bd=c$%, где $%d=\sin 2y$%. Это равносильно тому, что $%(b-d/2)^2=d^2/4+c$%. Правая часть не превосходит нуля. Значит, $%b=d/2$%, $%d=\pm1$%, $%c=-1/4$%. Из последнего условия сразу получаем $%t=1/4$%, откуда однозначно находится $%x$%. Параметр $%b$% может быть равен только $%1/2$% или $%-1/2$% -- в противном случае решений нет. Зная $%b$%, находим $%y$% из уравнения $%\sin 2y=2b$%.

ссылка

отвечен 14 Июл '13 13:11

Спасибо вам!

(14 Июл '13 20:14) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
2

1) Если $%b=0,$% то $%{\log_4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}})=0\Leftrightarrow \emptyset $%

2)$$b\sin 2y + {\log_4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}\Leftrightarrow (\frac{1}{8}\log_4(x^8-4x^{16})=b^2-bsin2y;\quad x>0).$$

Рассмотрим две функции $%f(t)=\frac{1}{8}\log_4(t-4t^2),\quad (t=x^8)$% и $%g(b)=b^2-bsin2y.$%

$$\max_{t\in(0;1/4)}(f(t))=f(\frac{1}{8})=-\frac{1}{4};\quad min(g(b))=g(\frac{sin2y}{2})=-\frac{sin^22y}{4};\quad (-\frac{sin^22y}{4}\ge-\frac{1}{4}).$$

Значит $%sin2y=\pm1\Leftrightarrow y=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in Z;x=\sqrt[8]{\frac{1}{8}};b=\pm\frac{1}{2}.$% Т.о. уравнение имеет решение при $%b=\pm\frac{1}{2}$%

ссылка

отвечен 14 Июл '13 14:42

изменен 14 Июл '13 16:16

Большое вам спасибо :)

(14 Июл '13 20:15) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,769
×417
×226

задан
14 Июл '13 11:58

показан
1416 раз

обновлен
14 Июл '13 20:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru