это уравнение из раздела "выделение неотрицательных выражений". Возможно, тут можно выделить полный квадрат, но необязательно так и будет. Может быть, удобнее рассматривать это уравнение в таком виде: $$b\sin 2y + \frac{1}{8}{\log _4}( - 4{t^2} + t) = {b^2},\,\,\,t = {x^8}$$ Подскажите, пожалуйста, идею решения. задан 14 Июл '13 11:58 
Silence |
|
Прежде всего, надо понять, какие значения может принимать логарифм. Для этого составим уравнение $%\log_4(x\sqrt[8]{1-4x^8})=c$%, Тогда $%x\sqrt[8]{1-4x^8}=4^c$%, то есть $%x > 0$% и $%x^8(1-4x^8)=4^{8c}$%. Домножаем на $%4$%, делаем замену $%t=4x^8$%, откуда $%t(1-t)=4^{8c+1}$%, и при этом $%t\in(0;1)$%. На этом интервале множество значений левой части равно $%(0;1/4]$%, откуда $%8c+1\le-1$%, то есть $%c\le-1/4$%. Очевидно также, что при каждом таком $%c$% найдутся положительные относительно $%t$% решения. Таким образом, исходное уравнение имеет вид $%b^2-bd=c$%, где $%d=\sin 2y$%. Это равносильно тому, что $%(b-d/2)^2=d^2/4+c$%. Правая часть не превосходит нуля. Значит, $%b=d/2$%, $%d=\pm1$%, $%c=-1/4$%. Из последнего условия сразу получаем $%t=1/4$%, откуда однозначно находится $%x$%. Параметр $%b$% может быть равен только $%1/2$% или $%-1/2$% -- в противном случае решений нет. Зная $%b$%, находим $%y$% из уравнения $%\sin 2y=2b$%. отвечен 14 Июл '13 13:11 
falcao Спасибо вам!
(14 Июл '13 20:14)
Silence
|
|
1) Если $%b=0,$% то $%{\log_4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}})=0\Leftrightarrow \emptyset $% 2)$$b\sin 2y + {\log_4}(x\sqrt[8]{{1 - 4{x^8}}}) = {b^2}\Leftrightarrow (\frac{1}{8}\log_4(x^8-4x^{16})=b^2-bsin2y;\quad x>0).$$ Рассмотрим две функции $%f(t)=\frac{1}{8}\log_4(t-4t^2),\quad (t=x^8)$% и $%g(b)=b^2-bsin2y.$% $$\max_{t\in(0;1/4)}(f(t))=f(\frac{1}{8})=-\frac{1}{4};\quad min(g(b))=g(\frac{sin2y}{2})=-\frac{sin^22y}{4};\quad (-\frac{sin^22y}{4}\ge-\frac{1}{4}).$$ Значит $%sin2y=\pm1\Leftrightarrow y=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in Z;x=\sqrt[8]{\frac{1}{8}};b=\pm\frac{1}{2}.$% Т.о. уравнение имеет решение при $%b=\pm\frac{1}{2}$% отвечен 14 Июл '13 14:42 
Anatoliy Большое вам спасибо :)
(14 Июл '13 20:15)
Silence
|
Оба ответа верные. Чтобы соблюсти формальности я отмечу правильным самый первый по времени ответ. Всем большое спасибо!