$%{\text{Решить в натуральных числах уравнение }}{2^k} - {5^m} = 3.$%

задан 6 Июл 18:32

1

Скорее всего, про такое уравнение всё должно быть известно, но я искал ссылки и на русском, и на английском, однако ничего не нашёл.

(7 Июл 4:46) falcao
2

Это и подобные рассматривались, например, здесь.

(7 Июл 12:39) Urt
1

@Urt: интересный способ! А по каким словам Вы искали? Дело в том, что вид уравнений таков, что если набрать что-то типа 2^m-5^n=3, то выдаётся что-то "левое".

(7 Июл 14:08) falcao
1

@falcao, я, по возможности, записываю интересные задачки или поучительные материалы со ссылками на источники. К сожалению, это не носит регулярный характер.

(7 Июл 14:23) Urt
1

Здесь в одном из постов говорится, что если взять уравнение $%{2^x} = {5^y} + 3$% при x>7 по модулю 256*257, то получится противоречие. Почему?

(7 Июл 18:14) Igore
1

@Igore: по-моему, рассуждение такое. При x>=8 получаем 5^y=-3(mod 256). Находим решение, это 35. Значит, y=35+64k с учётом периода 5 по данному модулю. В частности, x>=16. Тогда левая часть равна 1 mod 257. Смотрим на значения правой части. Достаточно брать 35, 35+64, 35+128, 35+192. Для этих показателей получаются другие значения.

(7 Июл 21:43) falcao
1

@falcao: $%{\text{Почему при }}x \geqslant 16{\text{ левая часть}} \equiv {\text{1}}\left( {\bmod 257} \right){\text{?}}$% $%{\text{При }}x = 16{\text{ имеем }}{2^{16}} \equiv 1\left( {\bmod 257} \right){\text{,}}$% $%{\text{но }}{2^{17}} \equiv 2\left( {\bmod 257} \right),{\text{ }}{2^{18}} \equiv 4\left( {\bmod 257} \right){\text{ и т}}{\text{.д}}{\text{.}}$%

(7 Июл 22:21) Igore
1

@Igore: да, это я неправильно сказал. Но тогда в левой части надо брать не одно значение, а несколько, и сравнивать со значениями правой части. За счёт периодичности, значений там мало, и совпадений не происходит.

(7 Июл 23:24) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}k > 7,m > 3 \hfill \\ {2^k} = {5^m} + 3 \Leftrightarrow {2^7} \cdot \left( {{2^{k - 7}} - 1} \right) = {5^3} \cdot \left( {{5^{m - 3}} - 1} \right) \hfill \\ \end{array}$%

$%{\operatorname{ord} _{125}}2 = 100 \Rightarrow 41|{2^{100}} - 1|{2^{k - 7}} - 1$%

$%{\operatorname{ord} _{41}}5 = 20 \Rightarrow 71|{5^{20}} - 1|{5^{m - 3}} - 1$%

$%{\operatorname{ord} _{71}}2 = 35 \Rightarrow 127|{2^{35}} - 1|{2^{k - 7}} - 1$%

$%{\operatorname{ord} _{127}}5 = 42 \Rightarrow 449|{5^{42}} - 1|{5^{m - 3}} - 1$%

$%{\operatorname{ord} _{449}}2 = 224 \Rightarrow 257|{2^{224}} - 1|{2^{k - 7}} - 1$%

$%{\operatorname{ord} _{257}}5 = 256 \Rightarrow {2^{10}}|{5^{256}} - 1|{5^{m - 3}} - 1.{\text{ Противоречие}}{\text{.}}$%

$%{\text{Ответ: }}\left( {3;1} \right),{\text{ }}\left( {7;3} \right).$%

ссылка

отвечен 8 Июл 3:34

изменен 8 Июл 3:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159
×80

задан
6 Июл 18:32

показан
259 раз

обновлен
8 Июл 3:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru