алгебра - При каких a уравнение имеет единственное решение?

Удобно разделить обе части на $%(\sqrt{2})^x$%. Тогда получится уравнение вида $%u^x+v^x=2$%, где $%u$% и $%v$% -- некоторые положительные числа. Легко заметить, что $%x=0$% будет решением при любом $%a$%, поэтому надо понять, при каких $%a$% других решений нет.

Если положить $%f=\sqrt{x^2-3ax+6}$%, то окажется, что $$uv=\frac{\sqrt{f+2}+\sqrt{f}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{f+2}-\sqrt{f}}{\sqrt{2}}=1.$$ Тем самым, уравнение имеет вид $%u^x+u^{-x}=2$%. Такое равенство может иметь место при $%u^x=1$%, и только при этом условии, что становится очевидным, если рассмотреть уравнение $%z+z^{-1}=2$% и свести его к квадратному относительно $%z$%. При $%x\ne0$% условие $%u^x=1$% равносильно тому, что $%u=1$%. Оно очевидным образом выполняется при $%f=0$%. И если многочлен $%x^2-3ax+6$% где-либо обращается в ноль, то это происходит заведомо при $%x\ne0$%, что даёт ещё одно решение. Рассматриваемое условие означает, что дискриминант этого трёхчлена неотрицателен, то есть $%9a^2-24\ge0$%. Такие $%a$% нам точно не подходят, и остаётся рассмотреть случай $%a^2 < 8/3$%. При таком условии, как следует из сказанного выше, наличие дополнительных решений (кроме $%x=0$%) означало бы, что $%u=1$%, откуда $%v=1$%. Тем самым, $%\sqrt{f+2}+\sqrt{f}=\sqrt{f+2}-\sqrt{f}$%, то есть $%f=0$%, но мы выяснили, что $%f$% не обращается в ноль при $%a^2 < 8/3$%, так как дискриминант будет отрицательным. Таким образом, ответом будет $%a\in(-\sqrt{8/3},\sqrt{8/3})$%.