При каких $%a$% уравнение $${(\sqrt {{x^2} - 3ax + 8} + \sqrt {{x^2} - 3ax + 6} )^x} + {(\sqrt {{x^2} - 3ax + 8} - \sqrt {{x^2} - 3ax + 6} )^x} = 2{(\sqrt 2 )^x}$$ имеет единственное решение?

Задачка из раздела "выделение неотрицательных выражений". Совсем нет своих мыслей по поводу решения. Я себя даже ущербным чувствую.
Если сделать замену $%f = {x^2} - 3ax + 6$%, то исходное уравнение можно переписать в виде

$%{(\sqrt {f + 2} + \sqrt f )^x} + {(\sqrt {f + 2} - \sqrt f )^x} = 2{(\sqrt 2 )^2}$%
ОДЗ этого уравнения $%f=x^2-3ax+6 \ge 0$%
В левой части уравнения под радикалами находятся функции $%f$% и $%f+2$%. Эти функции достигают минимума в точке $%x_0=-3a/2$%. Значит, при $%x > -3a/2$% подкоренные выражения возрастают, а при $%x<-3a/2$% - убывают..

задан 16 Июл '13 17:21

изменен 16 Июл '13 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Удобно разделить обе части на $%(\sqrt{2})^x$%. Тогда получится уравнение вида $%u^x+v^x=2$%, где $%u$% и $%v$% -- некоторые положительные числа. Легко заметить, что $%x=0$% будет решением при любом $%a$%, поэтому надо понять, при каких $%a$% других решений нет.

Если положить $%f=\sqrt{x^2-3ax+6}$%, то окажется, что $$uv=\frac{\sqrt{f+2}+\sqrt{f}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{f+2}-\sqrt{f}}{\sqrt{2}}=1.$$ Тем самым, уравнение имеет вид $%u^x+u^{-x}=2$%. Такое равенство может иметь место при $%u^x=1$%, и только при этом условии, что становится очевидным, если рассмотреть уравнение $%z+z^{-1}=2$% и свести его к квадратному относительно $%z$%. При $%x\ne0$% условие $%u^x=1$% равносильно тому, что $%u=1$%. Оно очевидным образом выполняется при $%f=0$%. И если многочлен $%x^2-3ax+6$% где-либо обращается в ноль, то это происходит заведомо при $%x\ne0$%, что даёт ещё одно решение. Рассматриваемое условие означает, что дискриминант этого трёхчлена неотрицателен, то есть $%9a^2-24\ge0$%. Такие $%a$% нам точно не подходят, и остаётся рассмотреть случай $%a^2 < 8/3$%. При таком условии, как следует из сказанного выше, наличие дополнительных решений (кроме $%x=0$%) означало бы, что $%u=1$%, откуда $%v=1$%. Тем самым, $%\sqrt{f+2}+\sqrt{f}=\sqrt{f+2}-\sqrt{f}$%, то есть $%f=0$%, но мы выяснили, что $%f$% не обращается в ноль при $%a^2 < 8/3$%, так как дискриминант будет отрицательным. Таким образом, ответом будет $%a\in(-\sqrt{8/3},\sqrt{8/3})$%.

ссылка

отвечен 16 Июл '13 18:36

Скажите, пожалуйста, как вы догадались перемножить $%uv$%? Вы увидели в выражениях
$$\sqrt{f+2}+\sqrt{f}$$ и $$\sqrt{f+2}-\sqrt{f}$$
формулу разности квадратов?

(16 Июл '13 21:11) Silence

Да, конечно! В таких задачах надо обращать внимание на все особенности типа того, что вот есть сумма и разность корней, что подкоренные выражения мало отличаются. В общем виде такого рода примеры обычно не решаются. То есть тут надо всегда угадывать логику составителей.

(16 Июл '13 21:16) falcao

Большое вам спасибо!

(16 Июл '13 21:30) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
2

link text

Я решал так

ссылка

отвечен 17 Июл '13 17:35

изменен 7 Апр '14 12:20

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,570
×222

задан
16 Июл '13 17:21

показан
1224 раза

обновлен
17 Июл '13 17:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru