Известно, что $$k!=10^a+20^b$$ при некоторых целых неотрицательных $%k, a, b.$% Может ли $%k$% быть больше 5?

задан 7 Июл 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
4

Не может.
Обозначим $% N_2,N_5 $% - соответственно степени вхождения двойки и пятерки в $%k!$%, положим $% k>5 $% и будем принимать во внимание, что $%N_2>2N_5,a≥1,b≥1$%.

Рассматриваем случаи:

1) $% a< b $% тогда $% k!=2^a 5^a (1+2^{2b-a} 5^{b-a}),N_2=N_5=a $% - невозможно.

2) $% a= b $% тогда $% k!=2^a 5^a (1+2^a ) $% - невозможно (при $%k=6$% проверяем, а при $% k \ge 7 $% равенство не выполняется по модулю 7).

3) $% b< a < 2b $% тогда $% k!=2^a 5^b (5^{a-b}+2^{2b-a}) N_2=a,N_5=b,N_2< 2N_5 $% - невозможно.

4) $% a = 2b $% тогда $% k!=2^{2b} 5^b (5^b+1) $% - невозможно (при $% 5 < k < 11 $% проверяем, а при $% k \ge 11 $% равенство не выполняется по модулю 11).

5) $% a> 2b $% тогда
$% k!=2^{2b} 5^b (2^{a-2b}5^{a-b}+1),N_2=2N_5 $%– невозможно.

ссылка

отвечен 8 Июл 13:35

@Urt, большое спасибо!

(8 Июл 17:30) Казвертеночка
1

Можно упростить: п.2)...$% N_2 \le N_5 $% - невозможно. Кроме того, если уточнить «будем принимать во внимание, что $% N_2 >2 N_5+1$% » то можно упростить также п. 4)... $% N_2 \le 2b+1, N_5=b, N_2 \le 2 N_5+1$% - невозможно.

(9 Июл 11:06) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,392
×211
×128
×37
×15

задан
7 Июл 22:31

показан
181 раз

обновлен
9 Июл 11:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru