N = {1, 2, 3, 4, 5} R = {(a, b): (a+b)=2n+1, n in N}

задан 9 Июл 11:16

Проверяйте поочерёдно свойства из списка. Отношение можно описать словами: a R b означает, что сумма чисел a+b нечётна. Очевидно ли всё, что касается рефлексивности или антирефлексивности? Очевидна ли симметричность? Что будет с транзитивностью? Если мы знаем, что a+b и b+c нечётны, то какова будет сумма a+c в смысле чётности? На все эти вопросы легко получить ответы, даже если такое упражнение делается впервые.

(9 Июл 12:45) falcao

@falcao, 1) Рефлексивность. Допустим a - четное: a + a = 2a - четное, следовательно для четных a условие рефлексивности не выполняется, т.е. отношение уже как минимум нерефлексивное. Допусти a - нечетное: (a + 1) + (a + 1) = 2a + 2 = 2(a + 1) - четное, следовательно в совокупности выше сказаного, можно сделать вывод, что данное бинарное отношение является антирефлексивным на множестве N. 2) Симметричность. Симметричность очевидна, ибо при любых парах (a, b) выполняется условие симметрчности. 3) Антисимметричность. Не выполняется, т.к. можно подобрать такую (a, b), что aRb => a <> b

(9 Июл 16:25) nurik040404

3) Транзитивность. Рассмотрим тройки (a, b, c). Вообще говоря выражение нетранзитивно исходя из следующих соображений: 1) если a и c одинаковы по четности, а b противоположно a и c, то транзитивность выполняется. 2) если a и c противоположны, то в таком случае не существует такого b in N при котором выполнялось бы свойство транзитивности.

(9 Июл 16:28) nurik040404

@nurik040404, ну вот, у вас неплохо получилось, только для исследования рефлексивности не нужно разделять на четное и нечетное. Очевидно, что независимо от четности а, а + а = 2а - четное.

Факт нетранзитивности установлен верно, но, если честно, я не очень понял ваши рассуждения. Можно было просто сказать, что если a четное, то b нечетное, и с четное, отсюда а + с четное. Если а нечетное, то b четное, и с нечетное, отсюда а + с четное.

(9 Июл 17:19) haosfortum

@haosfortum, у меня слишком расплывчатое понимание данной темы, ибо преподавалась она у меня не ахти, к тому же мои рассуждения о необходимости и достаточности доказательства порой самого меня сводят с ума, мол "достаточно ли того, что я написал, а может это не является доказательством как таковым" :) В любом случае, спасибо за ваш ответ!

(9 Июл 17:34) nurik040404

@nurik040404: примерно так всё и надо анализировать, обращаясь к определениям. Только мыслей должно быть по минимуму. Тут уже сказали, что разбирать случаи чётного и нечётного a не нужно. Сумма a+a всегда чётна -- это определение чётного числа. Это видно сразу, и отсюда следует нерефлексивность, и даже антирефлексивность. Симметричность очевидна, антисимметричности нет (из aRb & bRa не только не следует a=b, но это вообще невозможно.

О транзитивности: если a+b и b+c нечётны, то их сумма a+2b+c чётна, а тогда a+c тоже чётна. Значит, транзитивности нет.

(9 Июл 21:46) falcao

(продолжение) Попутно надо стараться говорить как можно более точно и грамотно. Вот Вы сказали "выражение нетранзитивно". А так говорить нельзя. Что бывает транзитивным? Только ОТНОШЕНИЕ. А не выражение.

Ещё одна ошибка: транзитивным бывает всё отношение в целом, а не отдельные тройки. Нельзя говорить, что транзитивность выполняется на одной тройке и не выполняется на другой. Если хотите, можем отработать этот момент, чтобы научиться точно называть вещи своими именами.

(9 Июл 21:50) falcao

@falcao, я хочу, а что вы предлагаете?

(10 Июл 3:17) nurik040404

@nurik040404: например, попробовать заново повторить все аргументы, но в грамотном виде, а также с учётом идеи "минимализма", то есть приводить минимум необходимых аргументов. Если хорошо отработать такую процедуру, у Вас появится "чутьё" на то, какие доводы важны, а какие нет, и появится внутренний критерий доказательности.

(10 Июл 3:28) falcao

@falcao, Давайте попробую так.
1) Рефлексивность.
Т.к. a + a = 2a при любых a, то данное бинарное отношение антирефлексивно по определению.
2) Симметричность.
Симметричность данного отношения очевидна согласно определению.
3) Антисимметричность.
В множестве N существуют такие a и b, что aRb => a<>b, следовательно антисимметричность отсутствует.
4) Транзитивность.
Если a+b и b+c нечетные, то (a+b) + (b+c) = a+2b+c - четное, тогда и a+c - четное

(10 Июл 6:27) nurik040404

@nurik040404: да, такого решения в принципе достаточно, хотя перед его началом полезно отметить свойство нечётности суммы. Жёсткого стандарта оформления, правда, здесь нет -- что-то могло быть написано подробнее или короче. Важно продемонстрировать понимание. Формально, в последнем пункте желательно сделать вывод, то есть сказать о нетранзитивности отношения. Оно здесь даже антитранзитивно, хотя последнее свойство редко упоминают.

(10 Июл 13:05) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,507
×83

задан
9 Июл 11:16

показан
156 раз

обновлен
10 Июл 13:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru