Угол между часовой и минутной стрелками (в градусах) вдвое превышает количество минут, прошедших от начала часа (при этом секундная стрелка смотрит вертикально вверх, а минутная — нет).

Который час?

Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

задан 18 Июл 12:40

изменен 18 Июл 17:45

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть часы показывают k часов n минут. По условию, n целое, но не равно нулю, то есть 0<=k<=11, 1<=n<=59.

Если прошло n минут, то от начального (вертикального) положения, минутная стрелка отклонилась на 6n градусов. Часовая отклонена на 30k+n/2 градусов. Угол между стрелками (как векторами) равен 2n градусов, откуда 8n=30k+n/2 или 4n=30k+n/2 по модулю 360.

Первый случай: n=2m чётно, 15m=30k(mod 360), то есть m=2k(mod 24). У нас 1<=m<=29, и 0<=2k<=22, то есть имеет место равенство: m=2k. Подставляя k=1,2,...,11, имеем соответственно m=2,4,...,22, то есть n=4,8,...,44. Это даёт 11 вариантов: 1 час 4 минуты, 2 часа 8 минут, ... , 11 часов 44 минуты.

Второй случай: n=2m снова чётно, 7m=30k(mod 360). Здесь m делится на 30, что при 1<=m<=29 невозможно.

ссылка

отвечен 18 Июл 21:20

1

@falcao, а Вы не пропустили случай, когда на часах 8:32?

(18 Июл 22:13) Пацнехенчик ...
3

@Пацнехенчик ...: нет, не пропустил. Этот случай содержится в списке с многоточием -- там везде число минут в 4 раза больше числа часов, то есть 8:32 там есть.

(18 Июл 22:23) falcao
2

Мудрёно.

Имеем $%\; |30k +\frac{n}{2} -6n|=2n, \;$% откуда $%\;n=4k,\;$% или $%\;7n=60k\;( \varnothing)$%.

(18 Июл 22:30) FEBUS
2

@FEBUS: это ровно те же уравнения, только у Вас не учитывается, что равенство выполняется по модулю 360. Уже потом становится ясно, что оно "буквальное", но априори это не очевидно.

(18 Июл 23:19) falcao

@falcao, большое спасибо!

(19 Июл 0:05) Казвертеночка
2

@falcao: У меня $%1\leqslant k\leqslant 14 $%.

(19 Июл 9:45) FEBUS
1

@FEBUS: значение k не может превышать 11 по определению, но по сути Вы правы. Я сделал вывод, что m=2k, в то время как возможен случай m=2k+24, который я пропустил. И тогда добавляются случаи: k=0, n=48; k=1, m=52; k=2, m=56.

(19 Июл 11:58) falcao
1

"значение k не может превышать 11 по определению"

@falcao: Ну, почему же?

По моему, изначально 1 ⩽ k ⩽ 24. А из n = 4k < 60 следует, 1 ⩽ k ⩽ 14.

(19 Июл 12:27) FEBUS
1

@FEBUS: у меня через k обозначено число часов на циферблате со стрелками, поэтому значение 14 формально приниматься не может. Но оно даёт ещё одно решение при k=2. Возможно, если обозначения как-то сменить, то получится Ваш случай.

(19 Июл 12:48) falcao
2

@falcao: Это понятно. Вопрос был — Который час?

Всё-таки 1:52 и 13:52 не одно и то же.

(19 Июл 13:12) FEBUS
1

@FEBUS: да, согласен. Хотя часы здесь с 12-часовым циферблатом, но ответ на вопрос даётся в 24-часовом формате, как обычно. Тогда имело смысл обозначать через k количество часов после полуночи.

(19 Июл 13:58) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×730
×18
×4
×4

задан
18 Июл 12:40

показан
243 раза

обновлен
19 Июл 13:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru