Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы $$A=\|a_{ij}\|,$$ где $%a_{ij}=\frac{\lambda_i}{\lambda_j}$%

задан 19 Июл 2:29

изменен 19 Июл 2:32

falcao's gravatar image


253k23650

@bra1n: я убрал индексы 1 и n, так как с ними формула плохо отображалась, но без них и так всё понятно.

(19 Июл 2:32) falcao

@falcao Спасибо! Тогда добавлю, что матрица порядка n.

(19 Июл 2:34) bra1n
10|600 символов нужно символов осталось
1

Данная матрица есть произведение столбца из "лямбд" на строку из обратных величин. Она имеет ранг 1. Жорданова форма не может иметь клеток порядка 2 и более, а также ненулевое собственное значение ровно одно. Значит, n-1 с.з. равно 0, а оставшееся равно n, так как сумма всех с.з. с учётом кратности равна следу матрицы, в которой на главной диагонали находятся единицы.

Все строки пропорциональны строке из величин, обратных "лямбдам". Для нахождения собственного вектора со значением 0 достаточно решить однородную систему из одного такого уравнения. Размерность пространства решений равна n-1, и столько же в нём будет базисных векторов. Общее решение легко находится: x(1), ... , x(n-1) полагаем любыми, x(n) выражаем. Нагляднее указать базисные решения: для каждого j от 2 до n берём вектор x(1)=lambda(1), x(j)=-lambda(j), x(i)=0 при i не равном 1, j.

Осталось указать с.в. для с.з., равного n. Его легко угадать: он состоит из "лямбд".

ссылка

отвечен 19 Июл 3:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,329
×416
×216
×35
×16

задан
19 Июл 2:29

показан
136 раз

обновлен
19 Июл 3:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru