Найдите все решения системы $$\left\{ \begin{array}{l} \cos 10x - 2\sin 5x \ge 3 \cdot {4^t} - 3 \cdot {2^{t + 2}} + \frac{{27}}{2}\\ \sqrt {{{(2 - \sqrt 3 )}^{4t}} + {{(2 + \sqrt 3 )}^{4t}} + 2} + 14{{\log }_2}(\cos 10x) + 6\cos 5x \ge {{(2t + 1)}^{1.5}} \end{array} \right.$$

Из первого неравенства можно однозначно найти $%t=1$%. Учитывая найденное значение переменной, второе неравенство примет вид: $$14 + 14{\log _2}(\cos 10x) + 6\cos 5x \ge {3^{3/2}}$$ Сделав замену $%k=\cos5x$%, неравенство можно переписать так: $$14 + 14{\log _2}(2{k^2} - 1) + 6k \ge {3^{3/2}}$$ ОДЗ для данного неравенства: $%k \in [ - 1; - \frac{{\sqrt 2 }}{2})||(\frac{{\sqrt 2 }}{2};1]$%

Помогите, пожалуйста, решить последнее неравенство.

задан 19 Июл '13 13:59

изменен 19 Июл '13 13:59

Dear Silence.

Наверное есть дамские форумы, на которых просят пояснить, как приготовить маринованные сыроежки в шоколадном соусе по-полинезийски.

(20 Июл '13 11:21) Галактион

Почему-то мне слышится "наезд" в комментарии про "дамские форумы".. А вот причину наезда - в упор не понимаю. @Галактион ? Что это было ? Зачем Вы так ? Если просто хочется обидеть кого-нибудь - то для этого тоже в сети найдется масса форумов..

(20 Июл '13 13:45) ЛисаА

Вы "в упор не понимаете" "причину наезда" потому, что Вы не математик.

(20 Июл '13 19:41) Галактион

=))
(оставила бы только смайлик - но здесь сайт "не разменивается" на смайлики.. нужно больше символов в теле комментария..)
надеюсь, это все хоть уберут модераторы форума..

(20 Июл '13 22:38) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
2

В общем виде такое неравенство, по-видимому, не решается, но в этом нет необходимости. Надо использовать дополнительную информацию относительно $%x$%, основанную на анализе решений первого неравенства. Там суть в том, что правая часть не меньше $%3/2$%, и равенство достигается при $%t=1$%. А левая часть представляется как квадратичное выражение от $%\sin 5x$%, и оно не больше $%3/2$%. Откуда можно увидеть, что равенство имеет место при условии $%\sin 5x=-1/2$% (и только при этом условии). Тем самым, мы это значение знаем, а $%\cos 10 x$% через него однозначно выражается, то есть его мы тоже знаем. При этом $%\cos 5x$% известен нам лишь с точностью до знака. То есть во второе неравенство известные нам вещи надо подставить, и тогда много чего сократится и упростится, а знак косинуса тем самым будет установлен. Останется найти $%x$%, зная косинус и синус числа $%5x$%.

ссылка

отвечен 19 Июл '13 14:20

Первое неравенство я решил формально, совершенно не обратив внимание, что из него же можно найти $%\sin5x=-1/2$%. Это уравнение имеет две серии решений $$5x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$ $$5x = - \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ подставляя по очереди каждое решение, получим, что первая серия подходит, а вторая - нет.
Огромное вам спасибо!

(19 Июл '13 16:48) Silence

А в каком смысле Вы решили первое неравенство "формально"? Каков был ход рассуждений? Серии решений можно не находить, а сначала просто всё подставить, и убедиться в том, что косинус имеет знак "плюс". Тогда серия остаётся всего одна. Это позволяет избежать лишних действий.

(19 Июл '13 17:19) falcao

Я сделал замену $%y=\sin5x$%, $%a=2^t$%, получилось квадратное уравнение относительно $%y$% с параметром $%a$%. Условие существование корней $%D \ge 0$%, $%D$% - функция с одной переменной $%a$%. Предыдущее неравенство я привел к виду $% - {(a + C)^2} \ge 0$% ($%C$% - некоторая константа), откуда однозначно выразил $%a$% и, соответственно, нашел $%t$%.

(19 Июл '13 17:55) Silence

Строго говоря, там возникает не уравнение, а неравенство. В такого рода случаях, когда есть неравенство вида $%f(x)\ge g(y)$%, надо смотреть на множество значений одной и другой функции. В общем виде такие неравенства решаются редко, и условие специально так составляют, чтобы оказалось, что левая часть всегда больше либо равна $%c$%, а правая -- меньше либо равна этой же константы. После чего получается два уравнения $%f(x)=c$% и $%g(y)=c$%.

(19 Июл '13 18:15) falcao

Да, точно, оговорился. Неравенство, а не уравнение.
Теперь буду знать, спасибо!

(19 Июл '13 18:23) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×38

задан
19 Июл '13 13:59

показан
744 раза

обновлен
20 Июл '13 22:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru