12, 22, 24, 32, 36, 42, 44, 48 и т. д.

Перед вами числа, у каждого из которых ровно два делителя, оканчивающихся на 2 в десятичной записи. Например, у числа 12 ровно 6 делителей (1, 2, 3, 4, 6 и 12), из которых ровно два (2 и 12) оканчиваются на цифру 2.

Назовём эти числа Катюшкиными.

а) Докажите, что для каждого натурального $%k\leqslant 8$% среди Катюшкиных чисел существует бесконечно много точных $%k$%-тых степеней.

б) Докажите, что среди Катюшкиных чисел нет ни одной точной степени, выше восьмой.

задан 21 Июл 20:43

изменен 23 Июл 16:25

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


7.9k213

1

Завтра-послезавтра напишу решение, если никто до той поры не напишет...

(24 Июл 20:24) Пацнехенчик ...

С пунктом б), по-моему, тривиально. Если число нечётно, то у него нет делителей, оканчивающихся на 2. Если же число чётно и является степенью выше восьмой, то оно делится на все степени двойки от 2 до 512, а среди этих чисел есть уже три делителя, оканчивающихся на 2, это числа 2, 32 и 512.

(25 Июл 9:29) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
-1

Попробую решить и первый пункт. Для степеней с показателями 1, 2, 4 и 8 возьмём число 256. У него ровно два делителя, оканчивающихся на 2 в десятичной записи, а именно, 2 и 32. Теперь возьмём все числа вида $%256\cdot 5^{8k}$% и покажем, что они удовлетворяют условию задачи. Действительно, каждое такое число является точной 8-ой (а также 4-ой, 2-ой и 1-ой) степенью. При этом, если его делитель делится на 5, то он оканчивается либо на 5, либо на 0, то есть, на 2 он не оканчивается. Если же делитель такого числа не делится на 5, то он является одним из делителей числа 256, а значит, среди таких делителей будет ровно два, удовлетворяющих условию задачи.

Для степеней с показателями 7, 6, 5 и 3 вместо числа 256 будем брать числа 128, 64, 32 и (снова) 64 соответственно. Доказывается всё аналогично.

@falcao, проверьте, пожалуйста.

ссылка

отвечен 1 Авг 0:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×141
×79
×54
×12
×7

задан
21 Июл 20:43

показан
181 раз

обновлен
1 Авг 0:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru