Сумма кубов четырех последовательных натуральных чисел может быть кубом натурального числа. Например, $%11^3+12^3+13^3+14^3=20^3.$%

Напрашивается вопрос (простите за тавтологию): а единственен ли этот пример?

задан 22 Июл '20 1:29

1
(22 Июл '20 21:45) Alex71
1

@Alex71: Такого уравнения там нет.

(22 Июл '20 21:47) EdwardTurJ
2

@EdwardTurJ, нет. Я хотел привести пример, что подобные уравнения "на коленке" не решаются.

(22 Июл '20 22:04) Alex71

@Alex71, для того, чтобы доказать, что пример не является единственным, достаточно привести ещё один пример, а решать целое уравнение "на коленке" не требуется.

(23 Июл '20 1:07) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, и как найти этот "ещё один пример", позвольте узнать? Компьютерным перебором, как в большинстве приведённых статей. А там пишут, что на нахождение некоторых примеров потребовались миллионы часов вычислений.

(23 Июл '20 12:11) Alex71
2

@Alex71, как сказал @EdwardTurJ, Ваша ссылка совсем о другом. Этот вопрос сводится к решению уравнения $%n^3+(n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3=k^3$%.
Можно записать его в виде $%x(x^2+15)=2y^3$% с нечетным x. Которое, в свою очередь, редуцируется к трем уравнениям вида $%ax^2+b=2y^3$%, которое хоть и сложно, но уже хорошо изучено. В частности, известна конечность решений, а также есть алгоритмы их нахождения

(23 Июл '20 13:02) spades
1

@spades, тогда можно решить?

(23 Июл '20 13:53) Alex71
1

@Alex71, теоретически, да

(23 Июл '20 13:58) spades
3

На коленке такие уравнения решаются... просто эти уравнения имеют конечное число решений. Учитывая тривиальные. Поэтому формулу написать нельзя... она возможна при бесконечном числе решений. Нашли бы нормальное уравнение.... чтоб число решений бесконечно...

(23 Июл '20 20:51) Individ
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
4

Уравнение решается так как многочлен $%f(x):=x^3 + (x+1)^3 + (x+2)^2 + (x+3)^2$% приводим: $$x^3 + (x+1)^3 + (x+2)^2 + (x+3)^2 = 2(2x + 3)(x^2 + 3x + 6).$$ Из тождества Безу также имеем $%\gcd(2x + 3,x^2 + 3x + 6)\mid 15$%. Поэтому, если $%f(x)$% равен кубу целого числа, то $%\frac{p}q (x^2 + 3x + 6)$% также является кубом для некоторых $%q\mid 15$% и $%p\mid 2q^2$%. Перебирая все варианты заключаем, что $$c\cdot (x^2 + 3x + 6) = y^3$$ для некоторого $$c\in\{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450\}.$$

Остается найти целые точки на соответствующих эллиптических кривых и отобрать из них подходящие $%x$%.

Вот этот код на Sage говорит, что единственными решениями являются $%x=-1$% и $%x=11$%.

ссылка

отвечен 17 Май 5:27

изменен 17 Май 5:28

@maxal, большое спасибо!

(17 Май 17:11) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,406
×1,027
×116
×14
×11

задан
22 Июл '20 1:29

показан
606 раз

обновлен
17 Май 17:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru