Если $%k=2^x>0$%, $%p=2^y>0$%, то
$$ - \left\{ \begin{array}{l}
{k^2} - kp \le \frac{{108a - 161}}{{2a - 3}}\\
5kp - 9{p^2} \ge 54
\end{array} \right. \Leftrightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{l} {k^2} - 6kp + 9{p^2} \le \frac{{108a - 161}}{{2a - 3}} - 54\\ 5kp - 9{p^2} \ge 54 \end{array} \right. \Leftrightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{l}
{(k - 3p)^2} \le \frac{1}{{2a - 3}}\\
9{p^2} - 5k \cdot p + 54 \le 0
\end{array} \right.$$
В первом неравенстве последней системы правая часть должна быть неотрицательной, $%a>3/2$%. задан 20 Июл '13 13:46 
Silence |
|
Я сейчас осознал, что тут концовка решения может быть совсем простой. У вас получено верное следствие условий системы, состоящее в том, что $%a > 3/2$%. Причём оно получается естественным путём, подсказанным тем обстоятельством, что в условиях два раза встречается в явном виде одно и то же число $%54$%. Далее можно исходить из гипотезы, что любое число $%a > 3/2$% подходит, попытавшись это строго доказать. Для этого достаточно указать подходящий пример положительных значений $%p$% и $%k$%, которые подходят. Причём тут даже не важно, какими средствами этот пример будет получен: если он подойдёт, то такое доказательство является логически полным. И здесь возможен такой ход мысли: пытаемся найти такие числа, для которых $%k-3p=0$% -- тогда для любого $%a > 3/2$% буде выполняться соответствующее неравенство. Подставляем далее $%k=3p$% во второе условие. Это сразу даёт $%p\ge3$%. И если далее просто взять $%p=3$%, $%k=9$%, то решение относительно $%x$% и $%y$% будет существовать, а все условия данной в самом начале системы будет выполнены, что проверятся подстановкой. Второе из неравенств становится равенством, а первое превращается в $%1/(2a-3)\ge0$%. отвечен 20 Июл '13 19:18 
falcao Можно ли решить эту задачу более алгоритмично? Желательно не графически, потому что задача подразумевает аналитическое решение (я пока до раздела, в котором разбираются графические решения, не дошел)
(20 Июл '13 20:30)
Silence
Что Вы подразумеваете под словом "алгоритмично"? Дело в том, что здесь надо проникнуть в логику составителей и понять, какого рода идеями они руководствовались. Эти задачи так устроены, что числа в них специально подобраны, и эти эффекты надо увидеть. Кроме того, сам замысел здесь такой, что время от времени надо делать логические переформулировки и на что-то полагаться, а потом строго это доказывать. Общий ход мысли я здесь описал. А общего "практичного" алгоритма здесь нет в том смысле, что если $%54$% заменить на $%53$% или $%55$%, то будет уже плохо.
(20 Июл '13 22:22)
falcao
Да это понятно, что в общем виде такие уравнение часто не решаются. Я плохо понял ваши слова о том, что число 54 встречается дважды. То есть, мне не понятно, как вы догадались, гляди на систему, что любое $%a>3/2$% подходит?
(20 Июл '13 22:32)
Silence
Это-то как раз легко пояснить, и я этого не делал только потому, что Вы сами до этого приёма догадались, и у Вас это было написано в той части решения, которое было приведено. Там при делении 108 на 2 получается 54, и во втором неравенстве имеется 54. То есть оба неравенства можно записать в таком виде, что получится [нечто-1] $%\ge54\ge$% [нечто-2]. Это есть в точности Ваше неравенство $%(k-3p)^2\le\frac1{2a-3}$%, откуда $%a > 3/2$%. А дальше уже логика: будет ли это неравенство наиболее сильным? Да, если мы сумеем обнулить левую часть. Переменных две, условий тоже два. Пробуем -- получается.
(20 Июл '13 22:43)
falcao
все, понял. Огромное спасибо @Anatoliy и @falcao
(20 Июл '13 23:19)
Silence
Все-таки неравенство, из которого получили $%a>\frac{3}{2}$% является следствием исходных. Можно ли гарантировать, что этими значениями исчерпываются все $%a$%? Здесь нужен аккуратный подход.
(21 Июл '13 13:05)
Anatoliy
@Anatoliy: гарантировать можно, так как если просто положить $%p=3$%, $%k=9$%, то исходная система превращается в условие $%1/(2a-3)\ge0$%. Оно и необходимо (как следствие условий системы), и достаточно (так как подходят конкретные $%p$% и $%k$%).
(21 Июл '13 13:18)
falcao
А почему можно брать p=3,k=9?
(21 Июл '13 15:26)
Anatoliy
Потому что это положительные числа. Для них найдутся такие $%x$% и $%y$%, при которых $%2^x=k$%, $%2^y=p$%. Это учитывается в самом начале, когда делается замена. Положительность этих двух чисел -- единственное ограничение. Не считая, конечно, того, что они удовлетворяют системе.
(21 Июл '13 16:22)
falcao
Проверил, используя графический подход. Области решений неравенств имеют общие точки, когда правая часть первого неравенства ,больше или равна 54, что возможно при $%a>\frac{3}{2}.$% Бегло просматривал Ваше решение, поэтому что-то упустил.
(21 Июл '13 17:27)
Anatoliy
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
1) $%p\ge k-\frac{108a-161}{(2a-3)k}.$% 2) $%5kp-9p^2\ge54\Leftrightarrow k\ge\frac{9}{5}p+\frac{54}{5p}\ge2\sqrt{\frac{9}{5}\cdot\frac{54}{5}}.$% Далее воспользуйтесь графическим подходом. отвечен 20 Июл '13 14:47 
Anatoliy Не понял вас, вы можете прокомментировать, пожалуйста?
(20 Июл '13 15:03)
Silence
Замечание falcao по поводу равносильности 2 и 3 систем неравенств правильное, поэтому нужно работать с исходными неравенствами системы (выполняя их равносильные преобразования). Дополнение. Отвечал на вопрос я сам.
(20 Июл '13 17:50)
Anatoliy
|
Когда Вы переходите от второй системы неравенств к третьей, то очевидным является лишь тот факт, что из второй системы следует третья, но у Вас стоит знак равносильности, который никак не обосновывается. Как от третьей системы (допустим, оба составляющих её условия истинны) перейти ко второй, получая первое из её условий? Боюсь, что так всё-таки нельзя переходить, то есть проверяющая сторона посчитала бы это логической ошибкой. Я здесь не анализирую Ваше решение в целом, а просто говорю об одном его "звене".
Видимо, надо было поставить знак $% \Rightarrow $% между второй и третьей (предпоследней) системами
Мне кажется, тут логический анализ нужен. То есть после замены переменных получается условие $%9p^2-5kp+54\le0$%, где $%p,k > 0$%, и при этих условиях нужно найти максимум значения выражения $%k^2-kp$%. Отсюда всё должно следовать. Там вроде бы получается, что этот максимум равен $%54$% и достигается при $%k=9$%, $%p=3$%. Я считал на черновике, и детально этот вывод не проверял, но он вроде бы верен. Тут можно ещё пытаться делать дополнительные удобные замены, решая задачу аналитически или графически.