Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств $$\left\{ \begin{array}{l} {4^x} - {2^{x + y}} \le \frac{{108a - 161}}{{2a - 3}}\\ 5 \cdot {2^{x + y}} - 9 \cdot {4^y} \ge 54 \end{array} \right.$$ имеет решение.

Если $%k=2^x>0$%, $%p=2^y>0$%, то $$ - \left\{ \begin{array}{l} {k^2} - kp \le \frac{{108a - 161}}{{2a - 3}}\\ 5kp - 9{p^2} \ge 54 \end{array} \right. \Leftrightarrow $$

$$\left\{ \begin{array}{l} {k^2} - 6kp + 9{p^2} \le \frac{{108a - 161}}{{2a - 3}} - 54\\ 5kp - 9{p^2} \ge 54 \end{array} \right. \Leftrightarrow $$

$$\left\{ \begin{array}{l} {(k - 3p)^2} \le \frac{1}{{2a - 3}}\\ 9{p^2} - 5k \cdot p + 54 \le 0 \end{array} \right.$$ В первом неравенстве последней системы правая часть должна быть неотрицательной, $%a>3/2$%.
А дальше непонятно... Пробовал исследовать второе неравенство в предыдущей системе $$f(p) = 9{p^2} - 5k \cdot p + 54 \le 0$$
Тут $%k,p>0$%. Условие существования корней $%D\ge 0 \Leftrightarrow k \in [\frac{{18\sqrt 6 }}{5}, + \infty )$%.
Значение минимума функции: $%f({p_0} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{5k}}{{18}}) = - {\left( {\frac{{5k}}{6}} \right)^2} + 54$%. Если подставить минимальное $%k=\frac{{18\sqrt 6 }}{5}$%, то $%f({p_o}) = - 54 + 54 = 0$%. То есть, при минимальном значении параметра $%k$% вершина параболы находится на оси абсцисс, а при дальнейшем увеличении $%k$% ордината вершины параболы стремится к минус бесконечности.
Помогите, пожалуйста, разобраться.

задан 20 Июл '13 13:46

изменен 20 Июл '13 13:57

Когда Вы переходите от второй системы неравенств к третьей, то очевидным является лишь тот факт, что из второй системы следует третья, но у Вас стоит знак равносильности, который никак не обосновывается. Как от третьей системы (допустим, оба составляющих её условия истинны) перейти ко второй, получая первое из её условий? Боюсь, что так всё-таки нельзя переходить, то есть проверяющая сторона посчитала бы это логической ошибкой. Я здесь не анализирую Ваше решение в целом, а просто говорю об одном его "звене".

(20 Июл '13 17:13) falcao

Видимо, надо было поставить знак $% \Rightarrow $% между второй и третьей (предпоследней) системами

(20 Июл '13 17:46) Silence

Мне кажется, тут логический анализ нужен. То есть после замены переменных получается условие $%9p^2-5kp+54\le0$%, где $%p,k > 0$%, и при этих условиях нужно найти максимум значения выражения $%k^2-kp$%. Отсюда всё должно следовать. Там вроде бы получается, что этот максимум равен $%54$% и достигается при $%k=9$%, $%p=3$%. Я считал на черновике, и детально этот вывод не проверял, но он вроде бы верен. Тут можно ещё пытаться делать дополнительные удобные замены, решая задачу аналитически или графически.

(20 Июл '13 18:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я сейчас осознал, что тут концовка решения может быть совсем простой. У вас получено верное следствие условий системы, состоящее в том, что $%a > 3/2$%. Причём оно получается естественным путём, подсказанным тем обстоятельством, что в условиях два раза встречается в явном виде одно и то же число $%54$%.

Далее можно исходить из гипотезы, что любое число $%a > 3/2$% подходит, попытавшись это строго доказать. Для этого достаточно указать подходящий пример положительных значений $%p$% и $%k$%, которые подходят. Причём тут даже не важно, какими средствами этот пример будет получен: если он подойдёт, то такое доказательство является логически полным.

И здесь возможен такой ход мысли: пытаемся найти такие числа, для которых $%k-3p=0$% -- тогда для любого $%a > 3/2$% буде выполняться соответствующее неравенство. Подставляем далее $%k=3p$% во второе условие. Это сразу даёт $%p\ge3$%. И если далее просто взять $%p=3$%, $%k=9$%, то решение относительно $%x$% и $%y$% будет существовать, а все условия данной в самом начале системы будет выполнены, что проверятся подстановкой. Второе из неравенств становится равенством, а первое превращается в $%1/(2a-3)\ge0$%.

ссылка

отвечен 20 Июл '13 19:18

Можно ли решить эту задачу более алгоритмично? Желательно не графически, потому что задача подразумевает аналитическое решение (я пока до раздела, в котором разбираются графические решения, не дошел)

(20 Июл '13 20:30) Silence

Что Вы подразумеваете под словом "алгоритмично"? Дело в том, что здесь надо проникнуть в логику составителей и понять, какого рода идеями они руководствовались. Эти задачи так устроены, что числа в них специально подобраны, и эти эффекты надо увидеть. Кроме того, сам замысел здесь такой, что время от времени надо делать логические переформулировки и на что-то полагаться, а потом строго это доказывать. Общий ход мысли я здесь описал. А общего "практичного" алгоритма здесь нет в том смысле, что если $%54$% заменить на $%53$% или $%55$%, то будет уже плохо.

(20 Июл '13 22:22) falcao

Да это понятно, что в общем виде такие уравнение часто не решаются. Я плохо понял ваши слова о том, что число 54 встречается дважды. То есть, мне не понятно, как вы догадались, гляди на систему, что любое $%a>3/2$% подходит?

(20 Июл '13 22:32) Silence

Это-то как раз легко пояснить, и я этого не делал только потому, что Вы сами до этого приёма догадались, и у Вас это было написано в той части решения, которое было приведено. Там при делении 108 на 2 получается 54, и во втором неравенстве имеется 54. То есть оба неравенства можно записать в таком виде, что получится [нечто-1] $%\ge54\ge$% [нечто-2]. Это есть в точности Ваше неравенство $%(k-3p)^2\le\frac1{2a-3}$%, откуда $%a > 3/2$%. А дальше уже логика: будет ли это неравенство наиболее сильным? Да, если мы сумеем обнулить левую часть. Переменных две, условий тоже два. Пробуем -- получается.

(20 Июл '13 22:43) falcao

все, понял. Огромное спасибо @Anatoliy и @falcao
p.s. наиболее сильное неравенство - поразительно точный эпитет

(20 Июл '13 23:19) Silence

Все-таки неравенство, из которого получили $%a>\frac{3}{2}$% является следствием исходных. Можно ли гарантировать, что этими значениями исчерпываются все $%a$%? Здесь нужен аккуратный подход.

(21 Июл '13 13:05) Anatoliy

@Anatoliy: гарантировать можно, так как если просто положить $%p=3$%, $%k=9$%, то исходная система превращается в условие $%1/(2a-3)\ge0$%. Оно и необходимо (как следствие условий системы), и достаточно (так как подходят конкретные $%p$% и $%k$%).

(21 Июл '13 13:18) falcao

А почему можно брать p=3,k=9?

(21 Июл '13 15:26) Anatoliy

Потому что это положительные числа. Для них найдутся такие $%x$% и $%y$%, при которых $%2^x=k$%, $%2^y=p$%. Это учитывается в самом начале, когда делается замена. Положительность этих двух чисел -- единственное ограничение. Не считая, конечно, того, что они удовлетворяют системе.

(21 Июл '13 16:22) falcao

Проверил, используя графический подход. Области решений неравенств имеют общие точки, когда правая часть первого неравенства ,больше или равна 54, что возможно при $%a>\frac{3}{2}.$% Бегло просматривал Ваше решение, поэтому что-то упустил.

(21 Июл '13 17:27) Anatoliy
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) $%p\ge k-\frac{108a-161}{(2a-3)k}.$%

2) $%5kp-9p^2\ge54\Leftrightarrow k\ge\frac{9}{5}p+\frac{54}{5p}\ge2\sqrt{\frac{9}{5}\cdot\frac{54}{5}}.$%

Далее воспользуйтесь графическим подходом.

ссылка

отвечен 20 Июл '13 14:47

изменен 20 Июл '13 17:57

Не понял вас, вы можете прокомментировать, пожалуйста?

(20 Июл '13 15:03) Silence

Замечание falcao по поводу равносильности 2 и 3 систем неравенств правильное, поэтому нужно работать с исходными неравенствами системы (выполняя их равносильные преобразования).

Дополнение. Отвечал на вопрос я сам.

(20 Июл '13 17:50) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×420
×38

задан
20 Июл '13 13:46

показан
1442 раза

обновлен
21 Июл '13 17:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru