$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}x{\text{ - вещественное число}}{\text{, }}{i^2} = - 1,{\text{ }}{\left( {1 + x \cdot i} \right)^n} = {p_n}\left( x \right) + i \cdot {q_n}\left( x \right),{\text{ }}n \in \mathbb{N}. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что:}} \hfill \\ {\text{а) многочлен }}{p_n}\left( x \right){\text{ неприводим над }}\mathbb{Q} \Leftrightarrow n{\text{ - нечётное простое число;}} \hfill \\ {\text{б)}}\operatorname{tg} nx = \frac{{{q_n}\left( {\operatorname{tg} x} \right)}}{{{p_n}\left( {\operatorname{tg} x} \right)}}; \hfill \\ {\text{в) }}p_n^2 + q_n^2 = {\left( {1 + {x^2}} \right)^n}. \hfill \\ \end{array}$%

задан 27 Июл 19:25

изменен 28 Июл 16:39

1

В одну сторону сразу ясно: при простом n биномиальные коэффициенты делятся на n кроме свободного члена. При этом действует критерий Эйзенштейна (для коэффициентов в обратную сторону).

(27 Июл 20:56) falcao

2p(x)=(1+ix)^n+(1-ix)^n

Если n имеет нечётный собственный делитель m, то p(x) приводим. Остаётся случай степени двойки. Там можно увидеть закономерность разложения -- с биномиальными коэффициентами и особо подобранными знаками. Это не должно быть сложно, судя по всему.

(27 Июл 21:03) falcao

$%{p_n} = {p_{n - 1}} - x{q_{n - 1}};{\text{ }}{q_n} = {q_{n - 1}} + x{p_{n - 1}}$%

$%{p_n}^\prime = - n{q_{n - 1}};{\text{ }}{q_n}^\prime = n{p_{n - 1}}$%

(28 Июл 15:47) Igore
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 29 Июл 1:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,501
×478
×413
×185

задан
27 Июл 19:25

показан
117 раз

обновлен
29 Июл 1:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru