Найти две последние цифры числа $%98^{100}$%

задан 29 Июл 15:19

Бином вам в помощь...

(29 Июл 16:07) all_exist

Найти остаток при делении на 100

(29 Июл 16:17) spades

@spades ну это я знаю) но как конкретно решить ?

(29 Июл 16:50) orangutan

$%{98^{100}}\mathop \equiv \limits_{100} {\left( { - 2} \right)^{100}} \equiv {2^{100}} \equiv {\left( {{2^{10}}} \right)^{10}} \equiv {1024^{10}} \equiv {24^{10}} \equiv $%

$%{576^5} \equiv {76^5} \equiv {\left( { - 24} \right)^5} \equiv - {\text{7962624}} \equiv - 24 \equiv 76$%

(29 Июл 17:32) Igore
1

Достаточно найти остатки от деления на 4 и на 25. Первый равен нулю. Второй находим при помощи теоремы Эйлера. Числа 2 и 25 взаимно просты, а ф(25)=20. Значит, 2^20=1(mod 25). Итого x=25k+1 делится на 4. Это 76.

(29 Июл 17:34) falcao

@falcao, в таком решении какой-то счет производить приходится.
А если заметить, что 24 - решение уравнения $%x^2+x=0 \pmod {100}$% и следовательно $%24^n \equiv (-1)^{n+1} \cdot 24 \pmod {100}$%, то, чуть изменив решение @Igore, обходимся вообще без вычислений.
Но по шаблону, конечно, функция Эйлера

(29 Июл 18:01) spades

По рабоче-крестьянски:

Найдите период $%\;p$% повторения 2-х последних: $%\; Z_2(98^a)=Z_2(98^{a+pk})$%

(29 Июл 19:19) FEBUS

@FEBUS хмм, можно и так, только период-то довольно большой получается ...

(29 Июл 19:28) orangutan

@spades: я ориентировался именно на "шаблон" -- особенно с учётом того, что остаток от деления на 25 находится сразу, без вычислений.

(29 Июл 20:05) falcao

@orangutan: довольно большой это сколько? Считал?

Лентяй ты, дружок. А ник у тебя адекватный, точный ....

(29 Июл 20:17) FEBUS
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5

задан
29 Июл 15:19

показан
80 раз

обновлен
29 Июл 20:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru