$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}f\left( n \right){\text{ - наибольший простой делитель числа }}n. \hfill \\ {\text{а) Существует ли натуральное число }}n{\text{, для которого }}f\left( {{n^8} + 1} \right) < n? \hfill \\ {\text{б) Существуют ли взаимно простые }}a{\text{ и }}b{\text{, }}a > b{\text{ такие}}{\text{, что }}f\left( {{a^8} + {b^8}} \right) < a? \hfill \\ {\text{в) Существуют ли }}n{\text{ и }}k > 8{\text{ такие}}{\text{, что }}f\left( {{n^k} + 1} \right) < n? \hfill \\ {\text{г) Для любых натуральных взаимно простых }}a{\text{ и }}b{\text{ при }}k \geqslant 8 \hfill \\ f\left( {{a^k} + {b^k}} \right) > \max \left( {a,b} \right).{\text{ Доказать или опровергнуть}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}$%

задан 31 Июл 19:29

изменен 5 Авг 21:58

@Igore: Ваша задача?

(31 Июл 19:38) EdwardTurJ
(31 Июл 19:43) Igore

@Igore: А решение Вам известно? Если не известно, что весьма желательно указать это в условии!

(31 Июл 19:47) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: решение мне пока не известно

(31 Июл 19:52) Igore
1

Нашёл. Наименьшее простое с таким свойством 1507853.

(31 Июл 20:13) Igore

А чо бы сразу не 101-ю степень брать, чтоб уж наверняка? Ну ладно, я верю, что для кубов задача решена, потому что 19^3+1=20*7^3. Но для всех последующих степеней-то, видимо, нет?

(31 Июл 20:22) knop

Там ведь, если ответ отрицателен и это можно доказать, то это где-то поблизости от abc-гипотезы. В общем, не верю я пока в эту задачу.

(31 Июл 20:24) knop
2

Для четвёртой степени наименьшее p=10181, для пятой 1753, для шестой 30977.

(31 Июл 20:35) Igore

@knop: для 17^3+1 все простые делители меньше 17.

(31 Июл 21:02) falcao

$%{\text{Пример для седьмой степени:}}$%

$%{\text{3377}}{{\text{1}}^7} + {34312^7} = $%

$%71 \cdot 103 \cdot 127 \cdot 661 \cdot 11117 \cdot 4397 \cdot 13693 \cdot 9689 \cdot 2213 \cdot 12041$%

$%f\left( {{\text{3377}}{{\text{1}}^7} + {{34312}^7}} \right) = 13693 < {\text{33771}}.$%

(2 Авг 22:55) Igore

$%{\text{Было предположение}}{\text{, что если }}p\left( x \right){\text{ - неприводимый многочлен}}$% $%{\text{степени 8}}{\text{, свободный член которого равен 1}}{\text{, то }}f\left( {p\left( n \right)} \right) > n{\text{ для}}$% $%{\text{любого }}n.{\text{ Однако это предположение оказалось неверным}}{\text{.}}$% $%{\text{Если взять }}p\left( x \right) = {x^8} + 518x + 1,{\text{ то }}p\left( 5 \right) = {2^{17}} \cdot 3,{\text{ т}}{\text{.е}}{\text{. }}f\left( {p\left( 5 \right)} \right) = 3 < 5.$%

(5 Авг 0:00) Igore

$%{\text{Ещё примеры: }}{3^8} + 3274 \cdot 3 + 1 = {2^{14}},{\text{ }}{7^8} + 2014 \cdot 7 + 1 = {2^2} \cdot {3^{10}} \cdot {5^2},$%

$%{5^8} + 28163 \cdot 5 + 1 = {3^{12}},{\text{ }}{7^8} + 44314 \cdot 7 + 1 = {2^3} \cdot {3^5} \cdot {5^5},$%

$%{17^8} + 47774 \cdot 17 + 1 = {2^8} \cdot {3^2} \cdot {5^2} \cdot 7 \cdot {11^3} \cdot 13$%

(5 Авг 0:52) Igore
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
2

б,г) $%25815^8 + 22649^8 = 2 \cdot 17 \cdot 433 \cdot 449 \cdot 673 \cdot 977 \cdot 1489 \cdot 1889 \cdot 9041 \cdot 9137 \cdot 14897 \cdot 17713$%
Контрпример, даже если в условии макс заменить на мин.

в) $%1609999^9 + 1 = 2^4 \cdot 5^4 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 73 \cdot 127 \cdot 1327 \cdot 1423 \cdot 1597 \cdot 9631 \cdot 11719 \cdot 78607 \cdot 80191 \cdot 87103 \cdot 901009 \cdot 1522063$%

а) наверняка тоже существует. Есть идея как до него можно дойти, но требует доработки

Upd.
$%99271723^8 + 1=$%
$% = 2 \cdot 193 \cdot 577 \cdot 2689 \cdot 2753 \cdot 9041 \cdot 391873 \cdot 1196033 \cdot 5510977 \cdot 6202657 \cdot 8426161 \cdot 64661041 \cdot 72487073$%

ссылка

отвечен 5 Авг 23:04

изменен 2 дня назад

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×185
×133

задан
31 Июл 19:29

показан
167 раз

обновлен
2 дня назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru