Пусть группа G имеет две подгруппы с взаимнопростыми индексами. Доказать, что G является произведением (в смысле любой элемент G представим в виде произведения h1 * h2 соответственно) этих подгрупп. Я знаю решение, опирающееся на конечность G, поэтому интересно решение для бесконечной группы

задан 31 Июл 20:06

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%G$% -- произвольная группа, $%H_1$%, $%H_2$% -- любые её подгруппы, $%H=H_1\cap H_2$% -- их пересечение. Будем рассматривать левые смежные классы по этим подгруппам. Очевидно, что любой левый смежный класс по $%H$% равен пересечению смежных классов по $%H_1$% и $%H_2$%, так как $%gH=g(H_1\cap H_2)=gH_1\cap gH_2$%. Обратно, если пересечь два произвольных смежных класса по подгруппам, то получится либо смежный класс по $%H$%, либо пустое множество. В самом деле, если $%g\in g_1H_1\cap g_2H_2$%, то $%g_1H_1=gH_1$%, $%g_2H_2=gH_2$%, и мы имеем предыдущую ситуацию.

Условие непустоты пересечения равносильно тому, что $%g_1^{-1}g_2\in H_1H_2$%, то есть $%G=H_1H_2$% равносильно тому, что все пересечения непустые.

Пусть теперь индексы подгрупп $%H_1$%, $%H_2$% в $%G$% конечны. Тогда мы имеем неравенство $%|G:H|\le|G:H_1|\cdot|G:H_2|$%, и равенство равносильно условию $%G=H_1H_2$% (если какие-то два смежных класса не пересекаются, то неравенство становится строгим).

Осталось заметить, что $%|G:H|=|G:H_i|\cdot|H_i:H|$% при $%i=1,2$%, то есть $%|G:H|$% делится на $%|G:H_i|$%. Если индексы подгрупп взаимно просты, то имеет место делимость индекса подгруппы $%H$% на произведение индексов, откуда вытекает неравенство $%|G:H|\ge|G:H_1|\cdot|G:H_2|$%, то есть мы имеем равенство, которое требовалось доказать.

ссылка

отвечен 1 Авг 8:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,004
×852
×132

задан
31 Июл 20:06

показан
31 раз

обновлен
1 Авг 8:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru