Функции в скобках неотрицательны, поэтому по формуле разности квадратов
$$({x^2} - x + {a^2} + 2 - 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} )({x^2} - x + {a^2} + 2 + 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} ) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Добавляю в каждую скобку $%x^2+(-x^2)=0$%
$$\begin{array}{l}
({a^2} - 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} + 2{x^2} - x + 2 + [ - {x^2}]) \cdot \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot ({a^2} + 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} + 2{x^2} - x + 2 + [ - {x^2}]) = 0\,
\end{array}$$
Выделяю полный квадрат
$$[{(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} )^2} - {x^2}][{(a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} )^2} - {x^2}] = 0$$
Использую формулу разности квадратов
$$\begin{array}{l}
(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} - x)(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} + x) \cdot \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot (a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} - x)(a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} + x) = 0
\end{array}$$
В принципе, можно каждый множитель приравнять к нулю и исследовать дискриминант квадратного уравнения, но это долго (придется избавляться от радикалов, появятся дополнительные условия), и может возникнуть ситуация, которую проще показать: задан 21 Июл '13 18:28 
Silence |
|
Лучше разложить немного по-другому
$$(x^2-x+a^2+2)^2-4a^2(x^2-x+a^2+2)+4a^4=4a^2(x^2-a^2)+4a^4$$ отвечен 21 Июл '13 19:02 
Андрей Юрьевич 1
Разве не может быть такой ситуации, когда оба множителя имеют два корня, но один корень у них общий. То есть первый множитель обращает в нуль пара чисел $%x_1=A;x_2=B$%, а второй - $%x_1=a;x_2=b$%, причем $%A=a$%. Тогда на самом деле решений 3
(21 Июл '13 20:04)
Silence
@Silence: а так может быть, как Вы говорите, и это даёт дополнительное решение. Общий корень легко отслеживается, так как уравнения почти одинаковые. Если приравнять то и другое к нулю, то сразу видно, что $%x=0$%, так как случай $%a=0$% не подходит.
(21 Июл '13 20:38)
falcao
а почему не может быть других случаев кроме $%x=0$%?
(21 Июл '13 21:05)
Silence
@Silence, случай, о котором Вы говорите, реализуется, если обе скобки имеют одинаковый (т.е. общий) корень. Для исследования такого случая, необходимо оба квадратных уравнения объединить в систему и решить эту систему. Но такая система после вычитания уравнений друг из друга дает $%4ax=0$%, откуда либо $%a=0$% , либо $%x=0$% . Кстати, при $%x=0$% получается $%a=\sqrt{2}$%, подставив это значение $%a$% в уравнение, получим еще 2 корня. Так что, Вы правы, такое решение тоже есть!
(21 Июл '13 22:16)
Андрей Юрьевич
Если оба квадратных уравнения объединить в систему и найти ее решение , то мы найдем не общие корни, точки пересечения двух парабол
(21 Июл '13 23:07)
epimkin
А, ну да, точно. Нужно просто потребовать, чтобы скобки одновременно обнулялись. $%a= \pm \sqrt{2}$%. Большое спасибо!
(21 Июл '13 23:11)
Silence
показано 5 из 7
показать еще 2
|