При каких значениях $%a$% уравнение $${({x^2} - x + {a^2} + 2)^2} = 4{a^2}(2{x^2} - x + 2)$$ имеет ровно три различных решения?

Функции в скобках неотрицательны, поэтому по формуле разности квадратов $$({x^2} - x + {a^2} + 2 - 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} )({x^2} - x + {a^2} + 2 + 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} ) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$ Добавляю в каждую скобку $%x^2+(-x^2)=0$% $$\begin{array}{l} ({a^2} - 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} + 2{x^2} - x + 2 + [ - {x^2}]) \cdot \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot ({a^2} + 2a\sqrt {2{x^2} - x + 2} + 2{x^2} - x + 2 + [ - {x^2}]) = 0\, \end{array}$$ Выделяю полный квадрат $$[{(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} )^2} - {x^2}][{(a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} )^2} - {x^2}] = 0$$ Использую формулу разности квадратов $$\begin{array}{l} (a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} - x)(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} + x) \cdot \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot (a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} - x)(a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} + x) = 0 \end{array}$$ В принципе, можно каждый множитель приравнять к нулю и исследовать дискриминант квадратного уравнения, но это долго (придется избавляться от радикалов, появятся дополнительные условия), и может возникнуть ситуация, которую проще показать:
пусть $%a$% некоторое число, при котором каждый множитель уравнения $%(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} - x)(a - \sqrt {2{x^2} - x + 2} + x)(a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} - x)(a + \sqrt {2{x^2} - x + 2} + x) = 0$% обращается в нуль при двух значениях $%x$%. Казалось бы, уравнения имеет $%4*2=8$% решений, но это не так, потому что решения могут совпадать, то есть при некотором значении $%x$% могут обнулиться несколько множителей, и тогда на самом деле решений будет меньше $%8$%. Вот это я не понимаю как учесть.
Помогите, пожалуйста.

задан 21 Июл '13 18:28

изменен 21 Июл '13 18:34

10|600 символов нужно символов осталось
3

Лучше разложить немного по-другому $$(x^2-x+a^2+2)^2-4a^2(x^2-x+a^2+2)+4a^4=4a^2(x^2-a^2)+4a^4$$
$$(x^2-x-a^2+2)^2-4a^2x^2=0$$ $$(x^2-x-a^2+2-2ax)(x^2-x-a^2+2+2ax)=0$$ Последнее уравнение легко можно исследовать: одна из скобок должна иметь два корня, а вторая - только один. Это, в свою очередь, означает, что один из дискриминантов должен быть положительным, а второй должен быть равен нулю.

ссылка

отвечен 21 Июл '13 19:02

1

Разве не может быть такой ситуации, когда оба множителя имеют два корня, но один корень у них общий. То есть первый множитель обращает в нуль пара чисел $%x_1=A;x_2=B$%, а второй - $%x_1=a;x_2=b$%, причем $%A=a$%. Тогда на самом деле решений 3

(21 Июл '13 20:04) Silence

@Silence: а так может быть, как Вы говорите, и это даёт дополнительное решение. Общий корень легко отслеживается, так как уравнения почти одинаковые. Если приравнять то и другое к нулю, то сразу видно, что $%x=0$%, так как случай $%a=0$% не подходит.

(21 Июл '13 20:38) falcao

а почему не может быть других случаев кроме $%x=0$%?

(21 Июл '13 21:05) Silence

@Silence, случай, о котором Вы говорите, реализуется, если обе скобки имеют одинаковый (т.е. общий) корень. Для исследования такого случая, необходимо оба квадратных уравнения объединить в систему и решить эту систему. Но такая система после вычитания уравнений друг из друга дает $%4ax=0$%, откуда либо $%a=0$% , либо $%x=0$% . Кстати, при $%x=0$% получается $%a=\sqrt{2}$%, подставив это значение $%a$% в уравнение, получим еще 2 корня. Так что, Вы правы, такое решение тоже есть!

(21 Июл '13 22:16) Андрей Юрьевич

Если оба квадратных уравнения объединить в систему и найти ее решение , то мы найдем не общие корни, точки пересечения двух парабол

(21 Июл '13 23:07) epimkin

А, ну да, точно. Нужно просто потребовать, чтобы скобки одновременно обнулялись. $%a= \pm \sqrt{2}$%. Большое спасибо!

(21 Июл '13 23:11) Silence

@epimkin мне кажется, засунув в систему два квадратных уравнения, мы требуем, чтобы некоторое значение $%x$% обнуляло оба уравнения. Это как раз и будет общим корнем.

(22 Июл '13 0:32) Silence
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×228

задан
21 Июл '13 18:28

показан
1409 раз

обновлен
22 Июл '13 0:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru