Пусть $%\xi \sim N(0,\sigma_1^2),\eta\sim N(0,\sigma_2^2) - $% независимые случайные величины. Доказать, что случайная величина $%\zeta=\frac{\xi \eta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}$% подчиняется нормальному закону распределения $%N\left(0,\left (\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2} \right)^2\right)$%.

задан 22 Июл '13 19:56

изменен 22 Июл '13 20:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

У меня в ответе получается несколько иная дисперсия. Желательно как-то сверить.

Рассуждал я так: случайные величины удовлетворяют уравнению $%\zeta^{-2}=\xi^{-2}+\eta^{-2}$%. Теперь надо найти плотность величины, обратной квадрату нормально распределённой. Это делается прямым вычислением: выписывается функция распределения, выраженная через интеграл, и далее она дифференцируется по верхнему пределу. Получается плотность $$p(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}x^{-3/2}\exp\left(-\frac1{2x\sigma^2}\right).$$ Это частный случай обратного гамма-распределения. Значение параметра $%\alpha$% равно $%1/2$%.

Далее, поскольку речь идёт о сумме двух независимых величин, достаточно найти характеристические функции, а затем их перемножить. В общем случае они выражаются через функции Бесселя, но при $%\alpha=1/2$% получается сравнительно простой ответ. Соответствующие вычисления можно найти, например, здесь. Это статья 2001 года из чешского журнала. В лемме 3 на стр. 83 указана функция $%\phi_0$%, что соответствует случаю $%\alpha=1/2$%. Параметр $%\beta$% при этом принимает значение $%2\sigma^2$%.

Из вида характеристической функции $$\phi_0(t)=\exp\left(-\frac2{\beta}(-2it)^{1/2} \right)$$ следует, что при перемножении характеристических функций для значений $%\sigma_1$% и $%\sigma_2$% получается значение $%\sigma$%, удовлетворяющее уравнению $%\sigma^{-2}=\sigma_1^{-2}+\sigma_2^{-2}$%. Поскольку между функциями распределения и их характеристическими функциями имеется взаимно-однозначное соответствие, это означает, что в сумме снова получилось обратное гамма-распределение, но теперь уже с параметром $%\sigma$%. А от него уже легко перейти к распределению величины $%\zeta$%, которое будет иметь вид $%{\cal N}(0;\sigma^2)$%, где $%\sigma^{2}=\frac{\sigma_1^{2}\sigma_2^{2}}{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}}$%.

Добавление. Я установил причину расхождения. То, что у Вас сформулировано, совершенно верно. Набранный выше текст я не буду менять, а просто напишу то, что вместо него должно быть. Дело в том, что в статье, на которую я ссылался, имеется опечатка в формуле для $%\phi_0$%. Там под знаком экспоненты, при возведении в степень $%1/2$%, должен быть не множитель $%2$%, а множитель $%\beta$%. Именно это согласуется с общими формулами, приведёнными в статье. Тогда, с учётом того, что $%\beta=2\sigma^2$%, характеристическая функция имеет такой вид: $$\phi_0(t)=\exp\left(-\frac2{\beta}(-\beta it)^{1/2} \right)=\exp\left(-\frac{\sqrt{-2it}}{\sigma}\right),$$ что согласуется и с формулой для преобразования Лапласа (я сверил). Это существенно меняет дело, так как при перемножении характеристических функций получается теперь уравнение $%\sigma^{-1}=\sigma_1^{-1}+\sigma_2^{-1}$%. То есть дисперсия итогового нормального распределения (для $%\zeta$%) равна $%\sigma^2=\left(\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}\right)^2$%, как и утверждалось в условии.

ссылка

отвечен 22 Июл '13 20:26

изменен 22 Июл '13 23:06

Сверил в нескольких источниках. Дисперсия в условии задачи правильная.

(22 Июл '13 20:41) MathTrbl

Непонятно тогда, откуда берётся расхождение. Преобразование Лапласа там к чему применяется? Его вид можно было бы сравнить с характеристической функцией.

(22 Июл '13 22:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,843

задан
22 Июл '13 19:56

показан
522 раза

обновлен
22 Июл '13 23:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru