Для каждого $%a$% решите уравнение $${\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + \cos x - \cos 3x + 2{a^2} = 0$$

Уравнение похоже на квадратное относительно $%a$%, но попытка вычислить дискриминант ни к чему хорошему не приводит
$$D = 4{(\sin x + \sin 2x + \sin 3x)^2} - 4 \cdot 2 \cdot ({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x + \cos x - \cos 3x) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) $$
Пробовал раскрыть скобки в исходном уравнении и выделять квадраты
$${(\sin x - a)^2} + {(\sin 2x - a)^2} + {(\sin 3x - a)^2} + \cos x - \cos 3x - {a^2} = 0$$ Я надеялся, что выражение (из предыдущего уравнения) $%\cos x-\cos3x-a^2$% неотрицательно для любых $%a$%, но это не так. Не знаю, что еще сделать. Помогите, пожалуйста.

задан 23 Июл '13 12:17

Большое вам спасибо @Anatoliy, @falcao и @epimkin. Ваша помощь помогает верить в свои силы!

(24 Июл '13 1:34) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$D = 4{(\sin x + \sin 2x + \sin 3x)^2} - 4 \cdot 2 \cdot ({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x + \cos x - \cos 3x)=$$ $$=-4(\sin ^2x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x -2(\sin x\sin2x+\sin x\sin3x +\sin 2x\sin3x)+2(\cos x-\cos3x))=$$ $$=-4(\sin ^2x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x-2(-\sin x\sin2x+\sin x\sin3x +\sin 2x\sin3x)=$$ $$=-4(\sin3x-\sin2x-\sin x)^2.$$

Проверьте. Если все верно, то дальше несложно.

ссылка

отвечен 23 Июл '13 16:31

изменен 23 Июл '13 16:33

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь можно решать через дискриминант, приводя его к удобному виду. Суть в том, что он здесь всегда отрицателен или равен нулю.

Прежде всего, выражение $%\cos x-\cos 3x$% можно выразить через произведение, получая $%2\sin x\sin 2x$%. Это подсказывает возможность сгруппировать несколько членов в выражении для приведённого дискриминанта (в таких случаях желательно сразу делить на $%4$%): $$\frac{D}4=(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^2-2((\sin x+\sin 2x)^2+\sin^2 3x),$$ что далее преобразуется к виду $$\frac{D}4=-(\sin x+\sin 2x-\sin 3x)^2.$$ Дальнейшее просто: приравниваем выражение к нулю и разлагаем его на множители. Такие и только такие значения $%x$% могут быть решениями, и под них уже подбираем $%a$%. Оно будет равно $%(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)/2$%, так как дискриминант нулевой, и это упрощается до $%\sin 3x$%, поскольку у нас сумма первых двух синусов равна третьему. Если не ошибаюсь, там получается, что $%a$% всегда равно нулю -- в противном случае решений нет.

ссылка

отвечен 23 Июл '13 16:32

1

Да, ответ а=0. Это задача со вступительных в МГУ (химфак, 2001 год)

(23 Июл '13 16:50) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915
×251

задан
23 Июл '13 12:17

показан
1307 раз

обновлен
24 Июл '13 1:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru