Уравнение похоже на квадратное относительно $%a$%, но попытка вычислить дискриминант ни к чему хорошему не приводит задан 23 Июл '13 12:17 
Silence |
|
$$D = 4{(\sin x + \sin 2x + \sin 3x)^2} - 4 \cdot 2 \cdot ({\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x + \cos x - \cos 3x)=$$ $$=-4(\sin ^2x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x -2(\sin x\sin2x+\sin x\sin3x +\sin 2x\sin3x)+2(\cos x-\cos3x))=$$ $$=-4(\sin ^2x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x-2(-\sin x\sin2x+\sin x\sin3x +\sin 2x\sin3x)=$$ $$=-4(\sin3x-\sin2x-\sin x)^2.$$ Проверьте. Если все верно, то дальше несложно. отвечен 23 Июл '13 16:31 
Anatoliy |
|
Здесь можно решать через дискриминант, приводя его к удобному виду. Суть в том, что он здесь всегда отрицателен или равен нулю. Прежде всего, выражение $%\cos x-\cos 3x$% можно выразить через произведение, получая $%2\sin x\sin 2x$%. Это подсказывает возможность сгруппировать несколько членов в выражении для приведённого дискриминанта (в таких случаях желательно сразу делить на $%4$%): $$\frac{D}4=(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)^2-2((\sin x+\sin 2x)^2+\sin^2 3x),$$ что далее преобразуется к виду $$\frac{D}4=-(\sin x+\sin 2x-\sin 3x)^2.$$ Дальнейшее просто: приравниваем выражение к нулю и разлагаем его на множители. Такие и только такие значения $%x$% могут быть решениями, и под них уже подбираем $%a$%. Оно будет равно $%(\sin x+\sin 2x+\sin 3x)/2$%, так как дискриминант нулевой, и это упрощается до $%\sin 3x$%, поскольку у нас сумма первых двух синусов равна третьему. Если не ошибаюсь, там получается, что $%a$% всегда равно нулю -- в противном случае решений нет. отвечен 23 Июл '13 16:32 
falcao |
Большое вам спасибо @Anatoliy, @falcao и @epimkin. Ваша помощь помогает верить в свои силы!