$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}f\left( n \right){\text{ - количество различных простых делителей числа }}n. \hfill \\ {\text{Например}}{\text{, }}f\left( {2 \cdot {5^3} \cdot 17 \cdot {{23}^7}} \right) = 4. \hfill \\ {\text{а) Верно ли}}{\text{, что }}f\left( {{n^2} + 9n + 1} \right){\text{ может быть сколь угодно большим?}} \hfill \\ {\text{б) Найдите какое - нибудь значение }}n{\text{, при котором }}f\left( {{n^2} + 9n + 1} \right) \geqslant 10. \hfill \\ \end{array}$%

задан 13 Авг '20 1:34

10|600 символов нужно символов осталось
3

Очевидно, ответ положительный. Пусть $%p$% -- нечётное простое, делящее $%n^2+9n+1$%. Это равносильно тому, что $%(2n+9)^2-77$% делится на $%p$%. Для существования такого $%n$% необходимо и достаточно, чтобы $%77$% было квадратом по модулю $%p$%. Таких значений $%p$% бесконечно много. В самом деле, по свойствам символов Якоби имеем значение символа Лежандра $%(\frac{77}p)=(\frac{p}{77})=1$% при $%p\equiv1\pmod{77})$%, а таких простых $%p$% бесконечно много в силу теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях.

Выпишем десять первых значений простых $%p$%, для которых $%77$% будет квадратом по модулю $%p$%, включая случаи $%p=7$% и $%p=11$%. Это $%7,11,13,17,19,23,37,41,53,61$%. Для числа $%2n+9$% должна иметь место сравнимость по этим модулям соответственно с числами $%0,0,\pm5,\pm3,\pm1,\pm10,\pm15,\pm6,\pm17,\pm52$%. Остаётся применить китайскую теорему об остатках для нахождения явного примера. Значение получится в пределах $%10^{14}$%.

ссылка

отвечен 13 Авг '20 9:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×204

задан
13 Авг '20 1:34

показан
130 раз

обновлен
13 Авг '20 9:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru