логика - Минус на минус

Вывод тождества $%(-a)(-b)=ab$% из аксиом не требует ни упорядочения, ни даже свойства быть полем. Удобнее всего такие вещи выводить из минимального набора аксиом. Рассматриваемое тождество верно во всех кольцах, причём требуются только аксиомы, относящиеся к сложению, и дистрибутивные законы. Даже наличие единицы в кольце не обязательно, то есть я не буду использовать ни символ 1, ни -1. Доказательство разобью на пункты, чтобы было удобнее. В каждом из этих пунктов будет доказываться какое-то полезное утверждение, которое само по себе где-то обычно используется.

1) единственность нулевого элемента Одна из аксиом нам говорит, что у нас имеется нулевой элемент, то есть такой элемент, обозначаемый нулём, для которого $%a+0=0+a=a$% для всех $%a$%. Но там не сказано, что такой элемент всего один. Полезно это проверить.

Пусть у нас есть элементы $%0_1$% и $%0_2$%, каждый из которых обладает свойством нулевого элемента. Докажем, что они равны. Рассмотрим их сумму $%0_1+0_2$%. Она равна как $%0_1$%, так как элемент $%0_2$% нулевой (нейтральный относительно сложения), и она же равна $%0_2$%, так как прибавление нулевого элемента $%0_1$% ничего не меняет. Таким образом, $%0_1=0_2$%. Далее всюду будем использовать только символ $%0$%.

2) единственность противоположных элементов Надо доказать, что у каждого $%a$% есть только один противоположный, то есть такой, который в сумме с ним даёт $%0$%. Такой элемент далее будет обозначаться в виде $%-a$%.

Рассмотрим два элемента $%b$% и $%c$%, каждый из которых обладает свойством противоположного элемента, то есть нам известно следующее: $%a+b=b+a=0$%, $%a+c=c+a=0$%. Требует доказать, что $%b=c$%. Сначала приравниваем $%a+b$% и $%a+c$%: каждый из этих элементов есть $%0$%. Теперь к обеим частям равенства $%a+b=a+c$%, в котором надо устранить $%a$%, прибавим слева нечто такое, что уничтожает $%a$%. На эту роль годится как $%b$%, так и $%c$%, поэтому прибавим $%b$%. Получится $%b+(a+b)=b+(a+c)$%. Далее перегруппируем скобки, дважды используя аксиому ассоциативности сложения. Получится $%(b+a)+b=(b+a)+c$%. Заменяем $%b+a$% на равный ему элемент $%0$%, что даёт $%0+b=0+c$%. Наконец, используем аксиому о нулевом элементе, что даёт $%b=c$%.

Далее элемент, противоположный $%a$%, обозначаем через $%-a$%. Мы теперь знаем, что он всего один.

3) $%-(-a)=a$% для всех $%a$%. Это одно из правил типа "минус на минус даёт плюс", но пока не то, о котором изначально шла речь. В любом случае, оно в аксиомах не значится, то есть требует доказательства. Оно проводится чисто логическим путём. Надо заметить, что у элемента $%-a$% нам известно два противоположных: этим свойством обладает как $%a$%, в сумме с ним дающий $%0$%, так и $%-(-a)$% -- второе в силу принятого обозначения. Но из предыдущего пункта следует, что эти элементы одинаковы, так как являются противоположными для $%a$%. Отсюда следует наше равенство.

4) элемент $%a$% является нулевым тогда и только тогда, когда $%a+a=a$%. Это полезное промежуточное утверждение, своего рода тест на нулевой элемент. Для того, чтобы доказать, что $%a=0$%, достаточно сложить $%a$% с самим собой и убедиться, что в сумме получится $%a$%.

Доказательство простое: если $%a=0$%, то равенство $%0+0=0$% очевидно. В обратную сторону: если известно, что $%a+a=a$%, то прибавим слева к обеим частям элемент $%-a$%. После несложных преобразований наподобие тех, что были в пункте 2, получаем $%a=0$%.

5) для всех $%a$% имеют место равенства $%a\cdot0=0$% и $%0\cdot a=0$%. Для нас это свойство более чем привычно, но в аксиомах нигде не сказано, что при умножении на $%0$% получается $%0$%. Мы знаем пока только то, что прибавление нуля ничего не меняет, а здесь нужно доказательство. Применим тест из предыдущего пункта. Нам надо убедиться, что $%a\cdot0$% -- это нулевой элемент. Тогда сложим его с самим собой: $%a\cdot0+a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0$%. Здесь был использован распределительный закон (это существенно). В итоге мы получили, что элемент проходит тест на свойство быть нулевым: в сумме с самим собой получается он же. Значит, $%a\cdot0=0$%. Второе равенство $%0\cdot a=0$% доказывается аналогично с использованием второго распределительного закона.

6) для всех $%a,b$% верно равенство $%(-a)b=-ab$%. Что здесь утверждается, если сказать словами? Что элемент $%(-a)b$% противоположен $%ab$%. Как это проверить, если это вообще правда? Надо сложить эти элементы, и если в сумме получится $%0$%, то это правда. Проверяем: $%(-a)b+ab=((-a)+a)b=0\cdot b=0$%. Здесь был применён распределительный закон, а также свойство из предыдущего пункта про умножение на ноль.

7) для всех $%a,b$% верно равенство $%a(-b)=-ab$%. Доказывается аналогично предыдущему.

И теперь итог: $$(-a)(-b)=-a(-b)=-(-ab)=ab.$$ Здесь сначала использовано было 6, потом 7, и в конце 3. Доказательство завершено.

Вопросы насчёт синтаксиса логических знаков хотелось бы уточнить. Какая именно символика не до конца понятна?