Как из аксиоматики действительных чисел вывести, что $$ -a \cdot (-b) = ab $$ Относится ли к этому аксиома: $$(0 \leqslant a) \land (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)$$ $$$$ Следует ли отсюда, что $$(a<0)\lor(b<0)\Rightarrow(a\cdot b<0)$$и тогда получается, что если а и b неотрицательны, то ab неотрицательно и если a или b (?)или оба сразу(?) отрицательны, то ab отрицательно?$$$$Объясните мне синтаксис логических знаков.

Сама аксиоматика

задан 24 Июл '13 21:27

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вывод тождества $%(-a)(-b)=ab$% из аксиом не требует ни упорядочения, ни даже свойства быть полем. Удобнее всего такие вещи выводить из минимального набора аксиом. Рассматриваемое тождество верно во всех кольцах, причём требуются только аксиомы, относящиеся к сложению, и дистрибутивные законы. Даже наличие единицы в кольце не обязательно, то есть я не буду использовать ни символ 1, ни -1. Доказательство разобью на пункты, чтобы было удобнее. В каждом из этих пунктов будет доказываться какое-то полезное утверждение, которое само по себе где-то обычно используется.

1) единственность нулевого элемента Одна из аксиом нам говорит, что у нас имеется нулевой элемент, то есть такой элемент, обозначаемый нулём, для которого $%a+0=0+a=a$% для всех $%a$%. Но там не сказано, что такой элемент всего один. Полезно это проверить.

Пусть у нас есть элементы $%0_1$% и $%0_2$%, каждый из которых обладает свойством нулевого элемента. Докажем, что они равны. Рассмотрим их сумму $%0_1+0_2$%. Она равна как $%0_1$%, так как элемент $%0_2$% нулевой (нейтральный относительно сложения), и она же равна $%0_2$%, так как прибавление нулевого элемента $%0_1$% ничего не меняет. Таким образом, $%0_1=0_2$%. Далее всюду будем использовать только символ $%0$%.

2) единственность противоположных элементов Надо доказать, что у каждого $%a$% есть только один противоположный, то есть такой, который в сумме с ним даёт $%0$%. Такой элемент далее будет обозначаться в виде $%-a$%.

Рассмотрим два элемента $%b$% и $%c$%, каждый из которых обладает свойством противоположного элемента, то есть нам известно следующее: $%a+b=b+a=0$%, $%a+c=c+a=0$%. Требует доказать, что $%b=c$%. Сначала приравниваем $%a+b$% и $%a+c$%: каждый из этих элементов есть $%0$%. Теперь к обеим частям равенства $%a+b=a+c$%, в котором надо устранить $%a$%, прибавим слева нечто такое, что уничтожает $%a$%. На эту роль годится как $%b$%, так и $%c$%, поэтому прибавим $%b$%. Получится $%b+(a+b)=b+(a+c)$%. Далее перегруппируем скобки, дважды используя аксиому ассоциативности сложения. Получится $%(b+a)+b=(b+a)+c$%. Заменяем $%b+a$% на равный ему элемент $%0$%, что даёт $%0+b=0+c$%. Наконец, используем аксиому о нулевом элементе, что даёт $%b=c$%.

Далее элемент, противоположный $%a$%, обозначаем через $%-a$%. Мы теперь знаем, что он всего один.

3) $%-(-a)=a$% для всех $%a$%. Это одно из правил типа "минус на минус даёт плюс", но пока не то, о котором изначально шла речь. В любом случае, оно в аксиомах не значится, то есть требует доказательства. Оно проводится чисто логическим путём. Надо заметить, что у элемента $%-a$% нам известно два противоположных: этим свойством обладает как $%a$%, в сумме с ним дающий $%0$%, так и $%-(-a)$% -- второе в силу принятого обозначения. Но из предыдущего пункта следует, что эти элементы одинаковы, так как являются противоположными для $%a$%. Отсюда следует наше равенство.

4) элемент $%a$% является нулевым тогда и только тогда, когда $%a+a=a$%. Это полезное промежуточное утверждение, своего рода тест на нулевой элемент. Для того, чтобы доказать, что $%a=0$%, достаточно сложить $%a$% с самим собой и убедиться, что в сумме получится $%a$%.

Доказательство простое: если $%a=0$%, то равенство $%0+0=0$% очевидно. В обратную сторону: если известно, что $%a+a=a$%, то прибавим слева к обеим частям элемент $%-a$%. После несложных преобразований наподобие тех, что были в пункте 2, получаем $%a=0$%.

5) для всех $%a$% имеют место равенства $%a\cdot0=0$% и $%0\cdot a=0$%. Для нас это свойство более чем привычно, но в аксиомах нигде не сказано, что при умножении на $%0$% получается $%0$%. Мы знаем пока только то, что прибавление нуля ничего не меняет, а здесь нужно доказательство. Применим тест из предыдущего пункта. Нам надо убедиться, что $%a\cdot0$% -- это нулевой элемент. Тогда сложим его с самим собой: $%a\cdot0+a\cdot0=a\cdot(0+0)=a\cdot0$%. Здесь был использован распределительный закон (это существенно). В итоге мы получили, что элемент проходит тест на свойство быть нулевым: в сумме с самим собой получается он же. Значит, $%a\cdot0=0$%. Второе равенство $%0\cdot a=0$% доказывается аналогично с использованием второго распределительного закона.

6) для всех $%a,b$% верно равенство $%(-a)b=-ab$%. Что здесь утверждается, если сказать словами? Что элемент $%(-a)b$% противоположен $%ab$%. Как это проверить, если это вообще правда? Надо сложить эти элементы, и если в сумме получится $%0$%, то это правда. Проверяем: $%(-a)b+ab=((-a)+a)b=0\cdot b=0$%. Здесь был применён распределительный закон, а также свойство из предыдущего пункта про умножение на ноль.

7) для всех $%a,b$% верно равенство $%a(-b)=-ab$%. Доказывается аналогично предыдущему.

И теперь итог: $$(-a)(-b)=-a(-b)=-(-ab)=ab.$$ Здесь сначала использовано было 6, потом 7, и в конце 3. Доказательство завершено.

Вопросы насчёт синтаксиса логических знаков хотелось бы уточнить. Какая именно символика не до конца понятна?

ссылка

отвечен 25 Июл '13 0:50

Спасибо за ответ. Мне понадобилось время, чтобы самостоятельно получить доказательство, с вашей помощью, конечно, поэтому немного припозднился. Вопрос насчет синтаксиса я оформлю в виде отдельного вопроса позже, т.к. ваш ответ добавил много пищи для размышлений.

(27 Июл '13 11:51) kloc5ee
10|600 символов нужно символов осталось
0

Сперва заметим, что вопрос об аксиоме можно поставить лишь для равенства $%(-1)\cdot(-1)=1$%, поскольку на $%ab$% можно поделить.

Геометрический смысл умножения на отрицательное число означает смену ориентации объекта на противоположное. Если мы два раза подобным образом сменим ориентацию, естественно, у нас получится исходное положение.

Последняя формула у вас не совсем верна, поскольку знак дизъюнкции не исключает возможности одновременного выполнения условия. Здесь более правильно употреблять строгую дизъюнкцию $%\mathrm{xor}$%, чтобы формула стала верной.

ссылка

отвечен 24 Июл '13 21:47

Смысл мне известен. Мне больше интересно, как оно выводится из аксиом. Там же есть аксиома о том, что '+' * '+' = '+'. А '-' * '-' = '+' я не вижу.

(24 Июл '13 21:58) kloc5ee

А вот за XOR спасибо

(24 Июл '13 22:00) kloc5ee

@MathTrbl: замена or на xor не делает эту импликацию верной, так как переменные могут принимать нулевые значения. Хотя в таком виде она будет ближе к истине.

(25 Июл '13 0:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

[Можно не обращать внимания на следующее] дополнение к пункту 1 в ответе falcao

$%1.1$% Известно, что $%\exists^{\geq 1}a (a \in \mathbb{R} \wedge \forall (x \in \mathbb{R} \rightarrow x + a = x \wedge a + x = x))$%.

$%1.2$% Надо доказать, что $%\exists^{= 1}a (a \in \mathbb{R} \wedge \forall (x \in \mathbb{R} \rightarrow x + a = x \wedge a + x = x))$%.

$%1.3$% Поскольку высказвание $%\exists^{\geq 1} a (...)$% известно, а высказывание $%\exists^{= 1} a (...)$% равносильно высказыванию $%\exists^{\geq 1} a (...) \wedge \neg \exists^{\geq 2} a(...)$%, постольку фактически надо доказать, что $%\neg \exists^{\geq 2} a (a \in \mathbb{R} \wedge \forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow x + a = x \wedge a + x = x))$%.

$%1.4$% Чтобы доказать высказывание $%\neg \exists^{\geq 2} a (...)$%, достаточно (в двухзначной логике) опровергнуть высказывание $%\exists^{\geq 2} a (...)$%.

$%1.5$% Указанное опровержение может иметь, например, такой вид:

$% \exists^{\geq 2} a (a \in \mathbb{R} \wedge \forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow x + a = x \wedge a + x = x))$%

$% \Leftrightarrow \exists a_1 \exists a_2 (\neg (a_1 = a_2) \wedge a_1 \in \mathbb{R} \wedge \forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow x + a_1 = x \wedge a_1 + x = x)) \wedge a_2 \in \mathbb{R} \wedge \forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow x + a_2 = x \wedge a_2 + x = x))$%

$% \Rightarrow \exists a_1 \exists a_2 (\neg (a_1 = a_2) \wedge a_1 \in \mathbb{R} \wedge (a_2 \in \mathbb{R} \rightarrow a_2 + a_1 = a_2 \wedge a_1 + a_2 = a_2)) \wedge a_2 \in \mathbb{R} \wedge (a_1 \in \mathbb{R} \rightarrow a_1 + a_2 = a_1 \wedge a_2 + a_1 = a_1))$%

etc

ссылка

отвечен 25 Июл '13 2:54

изменен 25 Июл '13 15:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×263

задан
24 Июл '13 21:27

показан
781 раз

обновлен
27 Июл '13 11:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru