$%\begin{array}{l} {\text{Пусть }}x{\text{ и }}y{\text{ - взаимно простые натуральные числа}}{\text{, }}p > 5{\text{ - простой делитель}} \hfill \\ {\text{числа }}\frac{{{x^5} + {y^5}}}{{x + y}}.{\text{ Докажите}}{\text{, что }}p = 10k + 1. \hfill \\ \end{array}$%

задан 21 Авг '20 15:28

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим уравнение $%5n=(p-1)m+1$%
Если $%p\ne 5k+1$%, то это уравнение всегда имеет решение, причем $%n$% - нечетно, поскольку в правой части стоит нечетное число.
Тогда если возвести обе части равенства $%x^5 \equiv -y^5 \pmod p$% в степень $%n$%, то получим $%x \equiv (-1)^n y \equiv -y \pmod p$%

Далее, если $%y=-x$%, то $%\frac{x^5+y^5}{x+y}=x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4=5x^4\ne 0$% (по модулю $%p$%)

ссылка

отвечен 21 Авг '20 16:30

$%{\text{Аналогично}}{\text{, в общем случае: если }}p{\text{ - простой делитель числа }}\frac{{{x^q} + {y^q}}}{{x + y}}{\text{, то }}p \equiv 1\left( {\bmod q} \right).$%

(1 Сен '20 2:33) Igore

Или $%p|q$%

(1 Сен '20 3:01) spades
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×204

задан
21 Авг '20 15:28

показан
185 раз

обновлен
1 Сен '20 3:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru