целые-числа - Докажите, что p = 10k+1

Рассмотрим уравнение $%5n=(p-1)m+1$%
Если $%p\ne 5k+1$%, то это уравнение всегда имеет решение, причем $%n$% - нечетно, поскольку в правой части стоит нечетное число.
Тогда если возвести обе части равенства $%x^5 \equiv -y^5 \pmod p$% в степень $%n$%, то получим $%x \equiv (-1)^n y \equiv -y \pmod p$%

Далее, если $%y=-x$%, то $%\frac{x^5+y^5}{x+y}=x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4=5x^4\ne 0$% (по модулю $%p$%)