2
1

ДВИ МГУ 17 июля 2013

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$sin(x+a/x) = x+1$$ имеет бесконечно много решений.

задан 25 Июл '13 15:24

изменен 25 Июл '13 15:52

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Случай $%a=0$% очевиден: прямая с угловым коэффициентом $%1$% пересекает синусоиду не более чем в одной точке (это можно строго доказать с использованием производной).

Пусть $%a\ne0$%. Если $%x$% -- решение, то $%x\in[-2,0)$%. При $%x$% стремящемся к нулю (слева), функция $%x+a/x$% стремится к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака $%a$%. Поэтому синус этого выражения бесконечно много раз принимает все значения от $%-1$% до $%1$%. Это делает правдоподобным предположение, что при $%a\ne0$% решений будет бесконечно много. Докажем это.

Пусть $%\varphi=\arcsin(x+1)$%. Для того, чтобы $%x$% было решением, достаточно выполнения условия $%x+a/x=\varphi+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Функция $%f(x)=x+a/x-\arcsin(x+1)$% непрерывна на $%[-2,0)$% и стремится к $%+\infty$% или $%-\infty$% при стремлении $%x$% к нулю слева ввиду ограниченности на данном промежутке как функции $%x$%, так и арксинуса. Следовательно, она принимает бесконечно много раз значения вида $%2\pi k$% при целых $%k$% (в противном случае она была бы ограниченной, с учётом того, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения).

ссылка

отвечен 25 Июл '13 16:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем считать, что $%x\in(-1;0),a\ne0$%. Рассмотрим числа вида $%M=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z.$% Разобьем это множество на два: отрицательные $%M_{-}$% и положительные $%M_{+},\quad\sin(M)=1.$% Далее $%x+\frac{a}{x}=M\Leftrightarrow x^2-Mx+a=0.$% Будем брать числа $%M$% большими по модулю, тогда дискриминант уравнения $%D=M^2-4a>0.$% Корни уравнения $%x_1=\frac{M-\sqrt{M^2-4a}}{2a};x_2=\frac{M+\sqrt{M^2-4a}}{2a}.$% Известно (этот факт отражен и в школьной программе), что $%\sqrt{M^2-4a}\approx\vert M\vert\Big(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{4a}{M^2}\Big)=\vert M\vert-\frac{2a}{\vert M\vert}.$% Если $%a<0,$% то из множества $%M$% возьмем подмножество $%M_+,$% при этом корень $%x_1-$% отрицательный, при достаточно больших по модулю значениях принадлежит промежутку $%(-1;0)$%; в случае $%a>0$% берем $%M_-$%, тогда второй корень меньше нуля. Т.о. для любого $%a$% можно указать такую окрестность отрицательных чисел точки $%0$%, на которой непрерывная функция $%y=\sin(x+\frac{a}{x})$% в бесконечном числе разных точек принимает значение $%1.$% А это значит, что графики функций $%y=\sin(x+\frac{a}{x})$% и $%y=x+1$% имеют бесконечное число точек пересечение, а исходное уравнение при $%a\ne0$% бесконечное число решений. В случае $%a=0$% уравнение имеет конечное число решений, это очевидно.

ссылка

отвечен 26 Июл '13 12:31

изменен 26 Июл '13 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%sin(x+a/x)=x+1\Leftrightarrow sin(x+a/x)-x=1.$% Корни этого уравнения принадлежат $%[-2;0),$% поэтому рассмотрим функцию $%f(x)=sin(x+a/x)-x,$% с областью определения $%[-2;0).$% Легко исследовать функцию $%\varphi(x)=x+a/x,$% с областью определения $%[-2;0). $%

  1. При $%a<0 ,$% область значений этой функции $%E(\varphi)=[\varphi(-2);+\infty)$%

  2. При $%a>0 ,$% область значений этой функции $%E(\varphi)\supset(-\infty;\varphi(-2)]$%

В первом случае существует натуральное число $%k_0,$% такое что $%\forall k>k_0,$% все числа $% m_k=\frac{\pi}2+2\pi k,n_k=\frac{3\pi}2+2\pi k$% принадлежат $%E(\varphi).$%

Вo втором случае существует натуральное число $%k_0,$% такое что $%\forall k>k_0,$% все числа $% m_k=\frac{\pi}2-2\pi k,n_k=\frac{3\pi}2-2\pi k$% принадлежат $%E(\varphi).$%
Пусть $%\varphi(x_{k_1})=m_k,\varphi(x_{k_2})=n_k ,$% где $% x_{k_1}, x_{k_2}\in [-2;0).$%

$%f(x_{k_1})=sin(\varphi(x_{k_1}))-x_{k_1}=sin(m_{k})-x_{k_1}=1-x_{k_1}>1.$%

$%f(x_{k_2})=sin(\varphi(x_{k_2}))-x_{k_2}=sin(n_{k})-x_{k_2}=-1-x_{k_1}\le1.$%

И так $%1\in [f(x_{k_1});f(x_{k_2})],$% значит непрерывная функция $%f$% в промежутке $%[x_{k_1};x_{k_2} ]$% принимает значение $%1.$% Но число этих промежутков бесконечно(они разные в силу монотонности $%\varphi$%).

Значит при $%a\ne0$% уравнение $%f(x)=1$% имеет бесконечно много решений.

При $%a=0, f^{'}(x)=cosx-1 \le 0$% функция монотонно убывает и принимает каждое свое значение в одной точке.

Ответ. $%a\in(-\infty;0)\cup (0;\infty)$%

ссылка

отвечен 26 Июл '13 1:37

изменен 26 Июл '13 2:18

При $%a=0$% эти рассуждения не проходят. Уравнение имеет вид $%\sin x=x+1$%, и оно имеет в точности одно решение. То есть этот случай является исключением.

(26 Июл '13 1:51) falcao

Да при $%a=0, E(\varphi)=[-2;0),$% и действительно это рассуждения не проходят. Спасибо.

(26 Июл '13 2:06) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

:):):):):):):):)Спасибо!:):):):):):):):)

ссылка

отвечен 23 Сен '13 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,566

задан
25 Июл '13 15:24

показан
3245 раз

обновлен
23 Сен '13 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru