Найдите все значения $%b$%, при которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{l} ({x^2} + 1)b = y + \cos 2x\\ {2^{|\sin x|}} + |y| = 2 \end{array} \right.$$ имеет единственное решение

Если решением системы является пара чисел $%(x;y)$%, то $%(-x;y)$% также является решением. При значении параметра $%b=2$% пара чисел $%(x;y)=(0;1)$% является одним из решением системы. При $%b=0$% одним из решением системы является $%(x;y)=(0;-1)$% (эти значения я нашел, подставив $%x=0$%, то есть я использую свойство четности.) Для единственности решения нужно доказать, что при данном значении параметра $%b$% других решений нет.
1) При $%b=2$% исходная система примет вид
$$\left\{ \begin{array}{l} {2x^2} + 2 = y + \cos 2x\\ {2^{|\sin x|}} + |y| = 2 \end{array} \right.$$ Из второго уравнения можно заключить, что $%y \in ( - 1;1)$%. Если нарисовать график левой части первого уравнения (парабола) и график правой части уравнения (синусоида сдвинутая на $%y$% вдоль ординаты), то можно увидеть, что графики касаются только при $%y=1$% ($%y \in ( - 1;1)$%). То есть при $%b=2$% существуют только одно решение $%(x;y)=(0;1)$%.
2) при $%b=0$% исходная система примет вид $$\left\{ \begin{array}{l} y = - \cos 2x\\ {2^{|\sin x|}} + |y| = 2 \end{array} \right.$$ Я не знаю, как проверить, есть ли еще решения, кроме пары чисел $%(x;y)=(0;-1)$%. Помогите, пожалуйста.

задан 25 Июл '13 16:02

изменен 25 Июл '13 16:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

В случае $%b=0$% получается уравнение $%2^{|\sin x|}+|\cos 2x|=2$%. Функция в левой части периодическая, и помимо $%x=0$% решениями будут все числа вида $%x=2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%, то есть решений бесконечно много.

При рассмотрении системы для случая $%b=2$% желательно при оформлении решения дать более строгое доказательство. Графики здесь наводят на верную мысль, но лучше рассуждать аналитически. А именно, $%2^{|\sin x|}\ge2^0=1$%, и из второго уравнения следует, что $%|y|\le1$% (строгие неравенства ниоткуда не следуют). Тогда правая часть первого уравнения системы не превосходит $%2$%, а левая часть -- наоборот, и равенство достигается только при $%x=0$%.

ссылка

отвечен 25 Июл '13 16:19

Да, точно, описался про строгие неравенства. Большое спасибо вам!

(25 Июл '13 16:57) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×408
×264

задан
25 Июл '13 16:02

показан
1020 раз

обновлен
25 Июл '13 16:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru